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alinouz

Invité

démonstration matrice

Bonjour,

J'ai une démonstration à faire mais je ne sais pas comment commencer...

Voici l'énoncé :

X est une matrice de réels de dimensions n x (p+1).

On a deux propriétés de X :
X est de rang p+1 & X^TX est inversible

Il faut montrer qu'elles veulent dire la même chose (équivalentes)...

Pouvez vous m'aider
merci.

Fred

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Re : démonstration matrice

Bonsoir,

  Un sens est plus facile que l'autre : celui qui consiste à prouver que [tex]X^T X[/tex] inversible entraine X de rang p+1.
Pour cela, tu peux utiliser la propriété suivante :
[tex]\textrm{rg}(AB)\leq \min (\textrm{rg}(A),\textrm{rg}(B) )[/tex]
Cela devrait te permettre de minorer le rang de X...

Si tu sais le faire, on discutera ensuite de l'autre sens...

Fred.

freddy

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Re : démonstration matrice

Salut Fred,

je pense que notre ami ne reviendra pas. Par contre, je t'avoue que je suis très intéressé par la réponse, j'ai un peu cherché, n'ai pas d'idée, et suis très curieux de la réponse ...

A propos, pour la démonstration de la dimension infinie de R comme Q.EV, bellissima !

Don, si tu veux bien, merci d'avance ! :-)

Fred

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Re : démonstration matrice

Salut Freddy,

  Voilà comment je m'y prendrais. Je suppose donc que [tex]X[/tex] est de rang p+1.
Ceci signifie que ses vecteurs colonnes, que j'appelle [tex]C_1,\dots,C_{p+1}[/tex] sont indépendants.

Le coefficient d'indice (i,j) de X^T X est [tex]C_i^T C_j [/tex]. Pour montrer que la matrice X^T X est inversible, il
suffit que je démontre que ses colonnes sont indépendantes. Imaginons qu'on ait une relation de liaison sur les colonnes.
Il existe donc des réels [tex]\lambda_1,\dots,\lambda_{p+1} [/tex] tels que, pour tout i, on ait
[tex]\sum_{j=1}^{p+1}\lambda_j C_i^T C_j=0[/tex], soit encore
[tex]\forall i, C_i^T(\sum_{j=1}^n \lambda_j C_j)=0[/tex]
Maintenant, j'ajoute [tex]\lambda_1[/tex] fois la première relation (i=1) avec [tex]\lambda_2[/tex] fois la deuxième, etc... et je trouve
[tex]\left(\sum_{i=1}^{p+1}\lambda_i C_i^T\right)\left(\sum_{j=1}^{p+1}\lambda_j C_j\right)=\left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j C_j\right|^2=0[/tex]
où la norme est la norme euclidienne. Comme les colonnes sont supposées indépendantes, ceci entraine bien que tous les [tex]\lambda_i[/tex] sont nuls...

Fred.

freddy

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Re : démonstration matrice

Très jolie démonstration, merci.

J'avais bien conçu le produit des colonnes transposées fois colonnes, mais je n'arrivais pas à imaginer une suite ...
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