Système équation et recurrence

ali55 · 12-09-2014 22:17:52

bonsoir,

c'est un exercice que j'ai commencé à résoudre mais j'ai l'impression avoir pris la mauvaise clé car je bloque après quelques phases:

énoncé: resoudre par récurrence le système suivant:

quelque soit n de N, il existe [tex]a_n, b_n[/tex] entiers naturels tel que:

[tex](2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_n)^2-3(b_n)^2=1[/tex]

Résolution:

Initialisation n=0,

[tex](2+\sqrt{3})^0=a_0+b_0\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_0)^2-3(b_0)^2=1[/tex]

solution évidente : [tex]a_0=1; b_0=0[/tex]

Hérédité: on suppose le système admettant une soln au rang n, et doit le démontrer au rang n+1

[tex](2+\sqrt{3})^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_{n+1})^2-3(b_{n+1})^2=1[/tex]

[tex](2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{3})(a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3})=1[/tex]

Là je bloque
merci pour l'aide

Roro · 12-09-2014 23:35:02

Bonsoir ali55,

Je n'ai pas lu ton message jusqu'à la fin mais dès le début je me demande pourquoi il faut le résoudre à l'aide d'une récurrence ?
J'ai l'impression qu'on peut "facilement" résoudre ce système directement. Est-ce une indication la récurrence ? est-ce une obligation ?
En gros, si tu veux le résoudre directement, tu peux écrire un système linéaire sur [tex](a_n,b_n)[/tex]...

Roro.

Dernière modification par Roro (12-09-2014 23:36:41)

ali55 · 13-09-2014 08:33:57

bonjour,

Non, il est bien spécifié dans l'énoncé de prouver par récurrence l'existence de solutions appartenant à l'ensemble N quelque soit n.

j'ajouterai pour plus de précision, je l'ai calculé aussi pour n=1 et j'ai trouvé [tex]a_1=2 ; b_1=1[/tex] et

pour n=2 : [tex]a_1=7 ; b_1=4[/tex]

Dernière modification par ali55 (13-09-2014 09:13:04)

Roro · 13-09-2014 09:06:38

OK, je vois. J'ai maintenant lu l'énoncé complet et je crois mieux comprendre :
je pense que le système se résout directement (sans récurrence) mais par contre ce qui n'est sans doute pas évident c'est que les solutions soient entières. Et c'est peut être là que tu dois utiliser une récurrence...

Roro.

totomm · 13-09-2014 11:04:35

Bonjour,

[tex]a_{n+1}=3a_n+b_n+b_{n-1}[/tex]
[tex]b_{n+1}=2a_n+b_{n-1}[/tex]

ali55 · 13-09-2014 12:50:16

Totomn, ta reponse suppose une double Initialisation à n= 0 et n= 1. Non?

Merci

totomm · 13-09-2014 13:03:24

rebonjour,

non, c'est pour jouer un peu....La récurrence "évidente" est :
[tex]a_{n+1}=2a_n+3b_n[/tex]
[tex]b_{n+1}=a_n+2b_n[/tex]

freddy · 13-09-2014 19:31:15

Salut,

je vais décoder l'énigmatique totomn.

Le système
[tex]\begin{cases} a_n+\sqrt 3 b_n=(2+\sqrt 3)^n \\ (a_n)^2 - 3(b_n)^2=1 \end{cases}[/tex]
est faussement compliqué, car la seconde équation permet d'écrire
[tex]\begin{cases} a_n+\sqrt 3 b_n=(2+\sqrt 3)^n \\ a_n - \sqrt 3 b_n=(2+\sqrt 3)^{-n} \end{cases}[/tex]
ce qui a déjà meilleure allure.

Ensuite, en cherchent un peu, on voit que [tex](2+\sqrt 3)^{-n}=(2-\sqrt 3)^{n}[/tex]

Enfin, toujours en poussant un peu, on a le système ci-après :
[tex]\begin{cases} a_n+\sqrt 3 b_n=(a_{n-1}+\sqrt 3 b_{n-1})(2+\sqrt 3) \\ a_n - \sqrt 3 b_n=(a_{n-1} - \sqrt 3 b_{n-1})(2-\sqrt 3) \end{cases}[/tex]

La conclusion tombe comme un fruit mûr :-)

totomm · 13-09-2014 21:03:21

Bonsoir,

Tout à fait ok, freddy. Il suffit en effet d'utiliser le principe " du conjugué " préconisé souvent par yoshi
Pour passer de [tex]\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex] à [tex]2-\sqrt{3}[/tex]
Je pensais qu' ali55 allait l'exposer au vu de la bonne solution ...

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