dm : polynômes du second degré

lyce · 08-09-2014 19:58:31

Bonsoir,
J'ai un D.M à rendre, et j'ai un exercice que je n'arrive pas du tout, en éspérant que vous pourrez m'aider.
P est la parabole d'équation y = x au carré. Pourquoi 3 points quelconques A,B, et C, situés sur P, et deux à deux distincts, ne sont jamais alignés ?
Merci d'avance.

yoshi · 08-09-2014 20:49:42

Bonsoir lyce,

Bienvenu(e) à bord...
Si ces trois points étaient alignés, ils constitueraient (j'enfonce une porte ouverte) une droite...
Et si tu suis ta parabole tu n'as pas de droite avec 3 points, puisque la parabole est courbe pas droite...

Il aurait été bien que tu donnes le niveau : 1ere je suppose...
Je crains qu'on ne puisse pas éviter les calculs et comme tu es en début d'année, tu n'as pas beaucoup d'autres moyens que ceux de la classe précédente...
Donc l'équation d'une droite possède un coefficient directeur qui est un nombre (si cette droite n'est pas verticale)
Je vais prendre [tex]x_A< x_B< x_C[/tex]... (*)
Donc On a dans l'ordre sur la parabole A, B, C...
Je vais calculer la valeur des coefficients directeurs de (AB) et (AC)
On a [tex]A(x_A\;;\,x_A^2), B(x_B\;;\,x_B^2), C(x_C\;;\,x_C^2)[/tex].

Coefficients directeurs de (AB) et (AC)
(AB) :
[tex]m_{(AB)}\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{x_B^2-x_A^2}{x_B-x_A}=\frac{(x_B+x_A)(x_B-x_A)}{x_B-x_A}=x_B+x_A[/tex]
On montrerait de la même façon que pour (AC), on a :
[tex]m_{(AC)}=x_C + x_A[/tex]
Si les 3 points A, B et C étaient alignés, alors les deux coefficients directeurs seraient égaux...
Mais ça, c'est impossible... vois-tu pourquoi ? (relis l'énoncé et ce qu'on dit des points A, B et C ce qui m'a permis d'écrire d'écrire la ligne (*))...
Donc...

@+

[EDIT]
Apparemment, pas de formule de calcul du coefficient directeur donnée en 2nde...
Donc autre proposition : tester la colinéarité des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] (par exemple).
[tex]\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\;;\;x_B^2-x_A^2)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\;;\;x_C^2-x_A^2)[/tex]

Peut-on trouver un réel k tel que
[tex]\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}[/tex] ?
Si oui, alors [tex]x_C-x_A = k(x_B-x_A)[/tex] et [tex]x_C^2-x_A^2= k (x_C-x_A)[/tex]
Soit si :
[tex]\frac{x_C-x_A }{x_B-x_A}=\frac{x_C^2-x_A^2}{x_B^2-x_A^2}[/tex] ou encore si : [tex]\frac{x_B^2-x_A^2 }{x_B-x_A}=\frac{x_C^2-x_A^2}{x_C-x_A}[/tex]

Et on retombe alors sur ce qui a été fait après les calculs des coefficients directeurs de (AB) et (AC) : factorisation des numérateurs, simplification, comparaison...

[EDIT2]
Dans mon bouquin de 2nde (donc c'est bien un acquis de 2nde) on explique que x, x', y, y' non nuls
[tex]\vec u (x\;;\; y)[/tex] et [tex]\vec v (x'\;;\; y')[/tex] sont colinéaires si [tex]\frac {x}{x'}=\frac {y}{y'}[/tex]
T'en souviens-tu ?
Si oui, on trouve alors tout de suite la condition de cet exercice : [tex]\frac{x_C-x_A }{x_B-x_A}=\frac{x_C^2-x_A^2}{x_B^2-x_A^2}[/tex]

(**) Soit après factorisation et simplification [tex]x_B+x_A = x_C+x_A[/tex]
Et je te repose la question :
cette condition est-elle vérifiée ? Pourquoi ?

Si non, on s'en passe et on fait comme dans l'EDIT1 (où je suis parti du principe que c'était oublié) : avec l'échange de [tex]x_B^2-x_A^2[/tex] et de [tex]x_C-x_A[/tex] à la fin...
Puis on reprend à (**)

Dernière modification par yoshi (08-09-2014 21:23:27)

yoshi · 11-09-2014 08:22:20

Bonjour,

totomm me fait remarquer en privé que mon argument

puisque la parabole est courbe pas droite

est dangereux puisque non valable dans le cas de la représentation graphique de la fonction cube [tex]f(x)=x^3[/tex].
Il a pleinement raison, même si j'avais précisé que je parlais de la parabole.
Mais cet argument ne tenait pas la route, parabole ou pas parabole
Je m'étais fait aussi cette objection après avoir répondu à Lyce et éteint ma machine ; après Lyce ne se manifestant pas, j'ai été négligent, j'aurais dû penser aux autres...
Il y aussi que j'avais ajouté :

Je crains qu'on ne puisse pas éviter les calculs et comme tu es en début d'année, tu n'as pas beaucoup d'autres moyens que ceux de la classe précédente...

Cela dit, il faut oublier cet argument... Et je ne veux pas aller "caviarder" mon texte : il restera pour montrer qu'il est faux...

Peut-être Lyce, en jetant sa bouteille à la mer, a-t-elle été malencontreusement entraînée et dérive-t-elle maintenant au gré des courants qui sillonnent les mers du globe ?

Lorsqu'on sera sûr, qu'elle n'est pas venue remercier, satisfaite ou non de la réponse (le travail est là quand même), pour cette raison et qu'on n'a que peu de chances de la revoir, disons à la fin de la semaine, j'invite totomm à venir proposer sa vision de la réponse qu'il juge sinon évidente du moins plus simple et à laquelle je n'ai pas pensé...
Je vais, en attendant consulter de nouveau mon livre de 2nde pour vérifier si les objections - techniques - qui me sont venues à l'esprit ont raison d'être ou pas...

En tout cas, cela me conforte dans ma pensée que
* ainsi que je je l'ai déjà dit, le soir, je devrais m'abstenir de répondre, et laisser ce soin aux "oiseaux de nuit" (rien de péjoratif !),
* le rappel à la courtoisie (voire à la politesse) doit être fait de temps en temps.
Nos Règles de fonctionnement précisent (et cela devrait être une évidence) :

* Pensez également à remercier les gens qui vous répondent, surtout s'ils résolvent votre problème. Ecrire un simple "merci" est la meilleure des récompenses pour les personnes qui vous ont consacré du temps. Ne pas le faire vous fait passer pour un ingrat et compromet vos chances d'obtenir une réponse à vos prochaines questions.

Ne pas être satisfait(e) de la réponse ne dispenserait pas d'un petit mot de remerciement, mais devrait au contraire, vous inciter à pousser celui qui vous répond dans ses derniers retranchements...

Allez, vale vobis !

@+

ymagnyma · 12-09-2014 18:59:06

Bonsoir.
Une idée, ne pas passer par les coefficients directeurs, mais carrément par l'équation de (AB), on montre alors, par un calcul de discriminant, que C appartient à (AB) si et seulement si C = A ou C= B

Je le tape demain, étant attendu, mais ça tourne bien.

Pour celui qui le fait, attention aux valeurs absolues, seul bémol à cette attaque, faisable alors en début de 1S, où on commence souvent par le discriminant.

A plus tard.

ymagnyma · 12-09-2014 19:03:14

Vite fait quand même :
[tex]A(a ; a^2)[/tex] ; [tex]B(b ; b^2)[/tex] et [tex]C(c ; c^2)[/tex] avec a, b et c trois nombres distincts deux à deux.
[tex](AB) : y=(b+a)x-ab[/tex]
[tex]C(c, c^2)[/tex] appartient à [tex](AB)[/tex] ssi [tex]c^2-(b+a)c +ab=0[/tex] , un discriminant là dessus, [tex]\Delta = (a-b)^2 >0[/tex] car a différent de b
Puis, dans tous les cas, les racines sont a et b.

Dernière modification par ymagnyma (12-09-2014 19:04:36)

yoshi · 13-09-2014 11:01:39

Bonjour,

ymagnyma a écrit :

[tex](AB) : y=(b+a)x-ab[/tex]

Peux-tu expliciter la manière dont tu t'y es pris ?
J'étais passé par les coefficients directeurs quand je me suis aperçu que la formule [tex]\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex] n'était pas donnée en 2nde.
Il y a quelques années (entre 15 et 20 ans maintenant) cela faisait partie du B-A-BA de la Géométrie affine de 3e...

Dans mon bouquin de 2nde, la technique suggérée est celle appelée autrefois du "point baladeur"...
Soit [tex]M (x\;;\; y)[/tex] un point quelconque de (AB)
On part de :
[tex]\overrightarrow{AB}\binom{b-a}{b^2-a^2}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}\binom{x-a}{y-a^2}[/tex]
On écrit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}[/tex] en écrivant l'égalité des produits en croix :
[tex](b-a)(y-a^2)= (b^2-a^2)(x-a)[/tex]
En remarquant que b²-a² est une différence de 2 carrés et que [tex]b \neq a[/tex] on factorise puis on divise après les 2 membres par b-a :
[tex](b-a)(y-a^2)= (b^2-a^2)(x-a)\Leftrightarrow (b-a)(y-a^2)= (b-a)(b+a))(x-a) \Leftrightarrow (y-a^2)= (b+a)(x-a)[/tex]
Crois-tu que ta méthode soit vraiment plus courte et plus simple que de tester si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]
Sont colinéaires ?
En supposant que oui, je montre alors que b+a = c+a soit b = c., ce qui est impossible puisque a, b et c sont deux à deux distincts...

Tant qu'à faire je préfère alors la méthode suggérée par totomm :

Bonjour,
N'est-il pas plus évident (et simple) de montrer :
La parabole (P) a pour équation [tex]y=x^2[/tex]
une droite a pour équation [tex]y=mx+p[/tex]
Donc les points communs ont pour abscisses les solutions de l'équation [tex]x^2=mx+p[/tex] qui admet au plus 2 racines distinctes.
Ainsi un troisième point de P dont l'abscisse est distincte des abscisses de deux premiers points de P ne peut être sur la droite qui joint ces deux premiers points.

C'est plus court, mais aussi plus "évident"... pour nous !
Un élève sortant de 2nde (j'ai vérifié dans le bouquin, mais je vais examiner les progs officiels : un de nos inspecteurs avait eu cette boutade : "Les manuels ? C'est de la littérature ! Reportez-vous aux Programmes Officiels") ne pensera pas à ça : tout au plus a-t-il résolu graphiquement ce type d'équation (avec coefficients numériques).
D'autre part, nous, nous savons qu'une équation du second degré admet au plus 2 solutions : rien trouvé à ce sujet...

Si je n'ai pas pris le temps d'y réfléchir, je suis à peu près sûr qu'il y a quelque chose à creuser dans cette solution...

@+

[EDIT]
Extrait du BO : cliquer sur la vignette

Dernière modification par yoshi (13-09-2014 12:02:52)

totomm · 13-09-2014 13:21:28

Bonjour,

J'avais regardé ce bulletin, et je ne sais pas interpréter si en fin de seconde :
Les élèves connaissent l'équation d'une droite,
Savent résoudre une équation du second degré
Car dans les études de fonctions : "Savoir mettre sous forme canonique un polynôme de degré 2 n’est pas un attendu du programme".

Mais j'ai vu avec délices, en ce qui concerne les expressions algébriques :
"Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner.
Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul.
Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel"

ymagnyma · 13-09-2014 13:22:32

Bonjour, pour commencer, la solution proposée par Totom me semble également la plus judicieuse.

Ensuite, dès la seconde, [tex]m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex] comme coefficient directeur de la droite (AB), pour [tex]x_A[/tex] différent de [tex]x_B[/tex] me semble connue. Je m'explique.
Certes, elle n'apparait pas explicitement dans le programme de seconde, pas plus que dans celui de 1S.
En revanche c'est dans celui de 1S que l'on trouve [tex]f'(x)[/tex] comme limite quand h tend vers 0, quand elle existe, de [tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]. Il faut bien que ce rapporte sorte de quelque part.
C'est encore dans celui de 1S qu'on trouve la relation de colinéarité de deux vecteurs [tex]xy'=x'y[/tex].
Dans celui de seconde, dans la partie 2, Géométrie, il y a "équation de droites" où on démontre que toute droite à une équation de la forme [tex]y=mx+p[/tex] ou [tex]x=c[/tex], et où on doit interpréter graphiquement le coefficient directeur de la droite.
Dans le programme de 3ème :"Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite représentant une fonction affine : Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.
Et en commentaires : pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence.

Bien sûr, on peut trouver m et p en résolvant un système, mais ce dernier commentaire m'incite à penser que [tex]m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex] est abordé dès la troisième.

C'est ce que j'ai utilisé pour déterminer l'équation de (AB), mais donc, j'aurai tout aussi bien pu résoudre le système^d'inconnues m et p : [tex] a^2=ma+p[/tex]
[tex]b^2=mb+p[/tex].

Ensuite, toujours au niveau 3ème, je teste [tex]C(c ; c^2)[/tex] dans l'équation obtenue.

Et donc là, ça fait mal, on arrive à la fameuse équation de degré 2 d'inconnue c : [tex]c^2-(b+a)c+ab=0[/tex]

Au niveau seconde, on peut déterminer la forme canonique, mais " ce n'est pas un attendu des programmes".
[tex]\left[c-\frac{b+a}{2}\right]^2-\left[\frac{b-a}{2}\right]^2=0[/tex] soit en supposant [tex]b>a[/tex], [tex](c-a)(c-b)=0[/tex] ...

Bref, c'est plus long et moins élégant que ce que propose Totom, qui s'appuie quand même sur une connaissance que n'ont pas, je crois, les secondes : une équation du second degré a au plus deux solutions.(*) Et donc, principe des tiroirs, si on en trouve trois, c'est que deux au moins sont confondues. C'est beau et élégant, mais là, je me répète.

(*) En fait, [tex]x^2+y^2=1[/tex] est-elle considérée comme une équation du second degré ?
Car si la réponse est oui, il y a une infinité de solutions.

Dernière modification par ymagnyma (13-09-2014 13:23:56)

yoshi · 13-09-2014 14:02:36

Salut,

ce dernier commentaire m'incite à penser que [tex]m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex] est abordé dès la troisième.

Négatif ! Certitude à 100 %...
On y parle "vaguement" d'équation de droite mais comme représentation graphique d'une fonction affine. Une équation de droite n'y a pas d'existence pour elle-même...
Ils savent que y = ax+b permet de tracer cette représentation graphique, que a est le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine

La fonction affine étudiée est en général liée à un problème concret (exemple : conversion des °F en °C et réciproquement)...

@+

ymagnyma · 13-09-2014 17:57:38

Bonsoir Yoshi, je veux bien, et vais même finir par être convaincu, mais alors, qu'est ce qui est attendu, entendu dans :"déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images" et en commentaires : "pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence." Puis les thèmes de convergence qui associe la vision graphique et la vision "expression".

Je suis d'accord c'est une première couche, (il en faut bien une), et ensuite, quand arrive le temps des paraboles, les secondes relient les points placés par des segments de droites comme si c'était la seule possibilité pour relier des points, (zont pourtant déjà tracer des cercles ; oui mais pas dans ce contexte, ok.

Il me semble que le : "déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images" signifie et savoir tracer la droite dans un repère, et en trouver l'équation.
Pour en trouver l'équation, bien sûr il est possible et même sans doute intéressant de passer par la résolution d'un système.

Mais alors, "pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence." est-ce seulement graphiquement. Et même, ça doit donner un truc du genre : soient [tex]A(x_A ; y_A)[/tex], [tex]B(x_B ; y_B)[/tex], [tex]C(x_C ; y_C)[/tex] trois points de la droite (d) d'équation [tex]y=3x+4[/tex]. (Je suppose que l'on donne un exemple concret, peut-être même qu'on donne trois points particuliers de cette droite, et d'autres ensuite pour compléter l'exemple, puis une autre droite ...
En utilisant Thalès, on doit pouvoir montrer que [tex]\frac{y_C-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x_C-x_A}{x_B-x_A}[/tex], puis cette "mise en évidence de la proportionnalité des accroissements" : [tex]\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex].

Là, c'est vrai, je théorise et je fais du calcul littéral, encore que, sur des exemples numériques, c'est jouable, mais bon, en effet, je ne suis pas, (plus) pas sûr et suis même convaincu que la formule n'aura pas été explicitement donnée comme ça, mais pourquoi pas après plusieurs exemples numériques ? Dans un TP info par exemple, sur geogebra, on associe une droite et un tableur, on teste l'évolution des taux d'accroissements et on constate que ce taux ne varie pas pour une droite donnée, mais qu'en revanche il varie quand on change de droite, puis que pour les droites parallèles à l'axe des ordonnées, il n'existe pas, on peut même en demander la raison.

Bon, je vais m'y faire, pas en 3ème donc, elle (me) semble pourtant à portée de main, mais sans doute trop tôt pour une première couche.
En seconde alors, pour qu'elle soit exploitée en 1ère pour le nombre dérivée.

yoshi · 07-10-2014 20:09:57

Salut l'ami,

J'ai revu mes ch'tis camarades cet après-midi : j'ai donc posé la question...
Ils ont confirmé ce que j'en pensais.
La formule en tant que telle ne figure pas dans le prog, tout en y étant en filigrane, non formellisée...
La "mise en évidence de la proportionnalité des accroissements" se ramène à ce qu'on montrait déjà avant...
1. Graphiquement.
A partir d'une droite déjà tracée de coefficient (par ex) 2/3 : elle "monte de 3 quand on avance de 2" ou de 6 pour 4 ou....
Après ce constat, on fait tracer une droite d'équation (par ex) y =-2x+3 sans tableau de valeurs de coordonnées préalable.
2. A partir d'un tableau de valeurs de coordonnées pour une fonction purement affine (donc non linéaire), on montre que s'il y a pas proportionnalité entre abscisses et ordonnées, il y a proportionnalité des écarts (des accroissements) et que le coefficient de proportionnalité n'est alors autre que le coefficient directeur de la droite représentative...

IL suffirait d'un rien pour passer à la formule, mais ce qui précède, s'il doit être mis en évidence, reste non exigible. Alors, la formule...

@+

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