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Sophonisbe

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Espaces de Banach

Salut,

Je cherche à comprendre la preuve du théorème suivant :

« Soit (E,||) un evn. Alors on a équivalence entre~:
1)(E,||) est c omplet
2)Si u [tex]\in E^\mathbb{N}[/tex], alors [tex]\sum_{n \in \mathbb{N}}||u_n||[/tex] converge [tex]\rightarrow \sum_{n \in \mathbb{N}}u_n [/tex]converge
»

Le sens 1) vers 2), j'ai compris.

Le sens 2) vers 1), j'ai du mal sur un point assez bête...

Soit u une suite de Cauchy de E. Par définition, il existe une application [tex]\phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex] strictement croissante telle que [tex]\forall n \in  \mathbb{N}[/tex], on a [tex]\forall m \ge n[/tex],  [tex]||u_m - u_{\phi (n)}|| \leq 2^{-n}[/tex]

Je ne vois pas d'où vient l'existence d'une telle application...

Merci

Roro

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Re : Espaces de Banach

Bonsoir Sophonisbe,

L'existence de l'application [tex]\phi[/tex] provient directement de la définition de suite de Cauchy :
[tex]\forall \varepsilon >0 \quad \exists N_0(\varepsilon) ~;~ \forall m\geq N_0(\varepsilon) \quad \|u_m-u_{N_0(\varepsilon)}\| \leq \varepsilon[/tex]
en prenant [tex]\varepsilon = 2^{-n}[/tex].

Roro.

Sophonisbe

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Re : Espaces de Banach

On aurait alors [tex]\phi(n)=N_0(\epsilon)[/tex] ? [tex]\phi [/tex]ne servirait qu'à décrire l'existence du rang [tex]N_0(\epsilon)[/tex] ?

Je reprends les maths, j'ai du mal...

Roro

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Re : Espaces de Banach

Bonsoir,

En gros oui ! (peut être qu'il faut est un peu plus précis pour assurer la monotonie mais c'est ça...)

Roro.

Sophonisbe

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Re : Espaces de Banach

Merci !