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rosaly

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Ouverts-Fermés et Boules dans un Espace métrique

Bonsoir à tous.
S'il vous plait,pouvez-vous me donner des orientation sur cet exo?

Soit (E,d) un espace métrique,x€E et V un sous ensemble de E.   #Montrer que:
(V€V(x))<=>(il existe r>0,B(x,r) est incluse dans V)<=>(il existe r>0,B'(x,r) est incluse dans V).
#Montrer que:
B(x,r), B'(x,r) € V(x))

*B'(x,r):boule ferme,
*B(x,r):boule ouverte,
*V(x)):Ens des voinages de x.

         MERCI!

Dernière modification par rosaly (06-09-2014 00:14:19)

Fred

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Re : Ouverts-Fermés et Boules dans un Espace métrique

salut,

  d'abord, dans cette chaine d'équivalence, il y a des implications qui sont faciles : lesquelles????

Fred.

rosaly

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Re : Ouverts-Fermés et Boules dans un Espace métrique

Slt Salut,

voici selon moi les implications faciles:

(V€V(x))<=>(il existe r>0 tel que B(x,r) est incluse dans V)  @Dans les deux sens@

B(x,r)€V(x)) En effet,toute boule Ouverte est un Ouvert et tout ouvert est voisinage de chacun de ses points;

rosaly.

Dernière modification par yoshi (06-09-2014 20:06:24)

Fred

Administrateur

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Re : Ouverts-Fermés et Boules dans un Espace métrique

D'accord, cette équivalence est facile.

L'implication 3=>2 est facile aussi, la boule ouverte de rayon r est contenue dans la boule fermée de rayon r.
Ensuite, pour prouver 2=>3, je choisirai r'=r/2 ....

Fred.

rosaly

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Re : Ouverts-Fermés et Boules dans un Espace métrique

Bjr Bonjour Fred,

Merci pour cette aide précieuse que tu m'a apporté!

Je comprend que la question B'(x,r) € V ne se pose plus!

Dernière modification par yoshi (07-09-2014 14:03:15)