démonstration par l'absurde

ali55 · 01-09-2014 18:28:01

Bonjour,

J'ai essayé de resoudre un exercice. Je n'ai pas le corrigé, aussi je vous demande si j'ai faux.

l'énoncé :
Soient 2 entiers naturels tq a soit strictement supérieur à b
montrer que [tex] \frac {a^2+b^2}{a^2-b^2}[/tex] n'appartient pas à N.

ce que j'ai fait:
D'abord rectifié l'énoncé car pour b=0, la proposition ne tient pas!
Donc je suppose b supérieur strictement à zéro

Résolution:
On suppose que [tex]\frac {a^2+b^2}{a^2-b^2} = k[/tex] appartenant à N

on remarque que[tex]k[/tex] entier est nécessairement supérieur ou égal à 2

après calcul on aboutit à:

[tex]\frac {a^2}{b^2}=-\frac {k+1}{k-1}[/tex]

ce rapport etant negatif avec d'où la contradiction

Donc la proposition est vraie

merci pour vos observations

Dernière modification par ali55 (01-09-2014 18:54:57)

fravoi · 01-09-2014 19:15:04

Salut,
Tu as dû te planter dans tes calculs car il n'y a pas de moins dans ta dernière expression. Si je me rappelle, c'est un exo d'arithmétique donc creuse dans ce domaine (PGCD,....).
Désolé, je n'ai pas envie de réfléchir dessus maintenant ^^ (surtout que je n'ai aucun brouillon)

ali55 · 01-09-2014 20:53:30

Merci

oui tu as raison le rapport est postif

Je dois tout revoir. compteur à zéro pour moi!

ali55 · 01-09-2014 21:31:06

Une autre voie :

[tex]\frac {k+1}{k-1} =1+\frac {2}{k-1}[/tex]

Deux cas

pour k #2, le rapport est non entier

pour k=2 [tex]a=b\sqrt {3}[/tex] donc a non entier
ce qui est en contradiction avec a appartenant à N

dans les 2 cas la proposition est donc vraie

Si quelqu'un a une demo plus rigoureuse elle sera la bienvenue
merci

tibo · 01-09-2014 23:50:00

Salut,

Avec ton [tex]\frac{a^2}{b^2}=\frac{k+1}{k-1}[/tex] tu y étais presque... Mais regarde ça plutôt sous la forme [tex]a^2(k-1)=b^2(k+1)[/tex]
Et à partir de là, comme l'a dit fravoi, c'est effectivement de l'arithmétique. Peut-être utiliser l'unicité d'une certaine décomposition...

ali55 · 02-09-2014 08:50:20

bonjour

pourquoi arriver à conclure que [tex]a = b\sqrt {1+\frac {2}{k-1}}[/tex] est non entier est en contradiction
avec l'hypothèse de départ a élément de N n'est pas suffisant ?

tibo · 02-09-2014 16:48:27

Oui, ça marche aussi. Mais personnellement je trouve ça moins joli.

ali55 · 02-09-2014 17:03:42

Tu peux detailler ton résultat ?

Dernière modification par ali55 (02-09-2014 21:34:16)

tibo · 04-09-2014 01:05:14

Re,

On a donc [tex]a^2(k-1)=b^2(k+1)[/tex].
Les deux termes sont des entiers, égaux.
Et par unicité de la décomposition en facteurs premiers c'est impossible !
En effet il faudrait que [tex]k-1=k+1[/tex] (Impossible!) et que [tex]a=b[/tex] (ce qui contredit l'énoncé)

ali55 · 04-09-2014 11:50:29

bonjour

merci pour la réponse

mais qui nous dit que cette décomposition des 2 membres est sous forme de facteurs premiers ?

tibo · 04-09-2014 17:53:37

Excellente question !

Houlala ! Je suis rouillé ! Et je commence les cours demain! Ça promet...

yoshi · 05-09-2014 07:20:38

Bonjour,

Je me décide à faire une proposition...
La démo peut se faire avec k, mais pour la "lisibilité", je pose n = k-1, avec k > 1:
[tex]a^2 = \frac{n+2}{n}\times b^2[/tex]
a et b étant des entiers (et a >b), [tex]a^2[/tex] et [tex]b^2[/tex] en sont aussi et par conséquent [tex]\frac{n+2}{n}[/tex] doit également en être un aussi.
[tex]\frac{n+2}{n}=1+\frac{2}{n}[/tex]
Donc [tex]\frac{2}{n}[/tex] doit être entier également, mais cela n'est vrai que pour n = 2 (soit k = 3).
Est-ce suffisant ? Non.
En effet, [tex]a^2[/tex] et [tex]b^2[/tex] étant des carrés [tex]\frac{n+2}{n}[/tex] doit également en être un aussi.
Or pour n = 2 :
[tex]a^2=2b^2[/tex] avec a et b entiers, ce qui est impossible.

@tibo. Pas "d'affolement"...
Dans ton cours, tu devras prendre de la hauteur et bien savoir que est l'objectif du chapitre et quels sont les moyens que tu te donnes pour y parvenir.
Quant aux exercices, c'est un peu la même idée et il te faudra les faire avant de les donner, tu n'y couperas pas, afin de voir s'il y a des subtilités, des difficultés éventuelles indécelables à simple lecture et aussi pour pouvoir faire le tri entre plusieurs en fonction des objectifs que tu leur fixes et des savoirs antérieurs et présents à mettre en œuvre...
De toutes façons, pour moi, le prof doit être capable d'adaptabilité et d'improvisation...
On ne peut pas tout prévoir...

@+

yoshi · 05-09-2014 18:11:42

Bonsoir,

J'ai vu passer ali55 qui n'a rien dit...
Je me réponds avec un contre exemple !
5 = 2.5 * 2...

Mais je ne dois pas être loin...

@+

freddy · 05-09-2014 22:51:28

Salut,

je ne sais pas si on impose une démonstration par l'absurde ou si on cherche à établir le résultat par la méthode la plus appropriée.

On peut avoir une preuve en ligne directe. Puisque on a : [tex]a \gt b \gt 1[/tex], alors [tex]\exists \; \alpha \gt 1[/tex] tq [tex]a=\alpha\times b[/tex].

[tex]\alpha[/tex] est un rationnel positif.

Donc [tex]\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{\alpha^2+1}{\alpha^2-1}=1+\frac{2}{\alpha^2-1} \notin N[/tex] sauf pour [tex]\alpha=\sqrt{2}[/tex], impossible par construction.

Il me semble avoir vu quelque chose d'assez proche.

ali55 · 06-09-2014 21:11:49

Bonsoir,

Oui freddy la demo par l'absurde est imposée ds l'énoncé mais ce que tu fais est proche de ma solution.

Yoshi, j'ai pas bien compris ton dernier post

freddy · 06-09-2014 22:04:27

Salut,

entre toi (mais il faut que tu ailles au bout de ton raisonnement), yoshi (qui lui va jusqu'au bout) et moi (il suffit de reprendre mon raisonnement dans un sens légèrement différent), je pense que la solution te tend la main. Regarde bien ...

yoshi · 07-09-2014 07:15:09

Salut,

J'ai montré avec un contre-exemple que j'ai fait erreur.
si a et b sont entiers et que a = k.b alors, non, k n'est pas forcément entier comme je l'ai cru au départ...

Je n'ai pas cherché hier, mais je vais reprendre aujourd'hui.
Ce qui est exact par contre dans mon raisonnement c'est que [tex] \frac{n+2}{n}[/tex] doit être un carré...

Au passage, post #6, quand tu dis :

pourquoi arriver à conclure que [tex]a = b\sqrt {1+\frac {2}{k-1}}[/tex] est non entier est en contradiction avec l'hypothèse de départ a élément de N n'est pas suffisant ?

pour la même raison que moi, ce que tu écris est contestable parce que non prouvé...
[tex]\sqrt {1+\frac {2}{k-1}}[/tex] peut très bien être rationnel (jusqu'à ce que la preuve du contraire soit faite) avec a et b entiers et a>b>0

Je vais chercher à montrer que [tex]\sqrt {1+\frac {2}{k-1}}[/tex] n'est jamais rationnel (j'ai déjà montré qu'il n'est pas entier).

@+

Dernière modification par yoshi (07-09-2014 10:47:51)

ali55 · 07-09-2014 21:10:09

Bonsoir,

accompagné d'un rapport irréductible et d'une racine a est non entier, et c 'est ce que j'ai dit (rationnel ou non la question ne se pose pas) et comme par hypothèse il appartient à
N, d'où la contradiction recherchée.

Dernière modification par ali55 (07-09-2014 21:54:35)

yoshi · 08-09-2014 12:18:46

Bonjour,

Oui et non.
C'est ce que, pour moi, tu as cru faire...

pour k#2, le rapport est non entier

D'accord c'est vrai, et ça prouve quoi ?
Suppose que tu puisses trouver k tel que
1. [tex]\frac{2}{k-1}[/tex] est rationnel, [tex]1+\frac{2}{k-1}[/tex] le sera aussi...
Alors il est possible de trouver c et d entiers tels que [tex]c =d\left(1+\frac{2}{k-1}\right)[/tex]
Exemple:
[tex]15=9\times\frac 5 3 [/tex]
Tu vas me dire : un tel k n'existe pas ! si ! k=4...
Le problème est de montrer que [tex]1+\frac{2}{k-1}[/tex] n'est jamais un carré...
Puisque si [tex]a^2=m.b^2[/tex], m doit être un carré !
Et où est ta démonstration ?

2.

pour k#2, le rapport est non entier

Oui, mais le seul début de preuve apporté est que ça ne colle pas pour k=2. Et pour k > 2 ?
Voilà :
On a k>2 donc k-1 > 1 <==> [tex]\frac{1}{k-1} <1[/tex] <==> [tex]1+\frac{1}{k-1} < 2[/tex]
Et [tex]\frac{1}{k-1}>0[/tex] donc [tex]1+\frac{1}{k-1}>1[/tex] .
[tex]1<1+\frac{1}{k-1} < 2[/tex]
Mais si ce n'est pas entier, qu'est ce qui l'empêche d'être rationnel ? Rien..
Le hic est que [tex]1+\frac{1}{k-1}[/tex] doit de plus être un carré... ce qui n'est jamais vrai et ça, il faut le prouver.

@+

totomm · 09-09-2014 11:05:24

Bonjour,

yoshi a écrit :

Le problème est de montrer que [tex] \frac{k+1}{k-1}[/tex] n'est jamais un carré...

il faut ajouter : ...d'un nombre rationnel, pour k entier.

Si on recherche toujours une démonstration (je pense que ali55 en a une qu'il n'a pas entièrement explicitée) :

Comme c'est vrai pour k=2 et k=3, on peut poser m=k-1 et démontrer que
[tex] \frac{m+2}{m}[/tex] n'est jamais un carré d'un nombre rationnel, pour m entier > 2.

si m est impair la fraction est irréductible. Si elle était égale à un carré on aurait
[tex] \frac{m+2}{m}= \frac{r^2}{s^2} [/tex] avec r et s entiers premiers entre eux et r > s.

Si deux fractions irréductibles sont égales, les numérateurs et les dénominateurs sont égaux.
on aurait donc : [tex]m+2=r^2\ et\ m=s^2\ soit \ r^2-s^2=2\ soit \ (r+s)(r-s)=2[/tex] qui n'admet aucune solution pour r et s entiers

si m est pair, [tex] \frac{m+2}{m}[/tex] n'est réductible qu'une fois en divisant par 2...

yoshi · 09-09-2014 11:40:27

Re,

totomm a écrit :

il faut ajouter : ...d'un nombre rationnel, pour k entier.

Certes, cher monsieur, mais j'avais écrit :

Mais si ce n'est pas entier, qu'est ce qui l'empêche d'être rationnel ? Rien..
Le hic est que [tex]1+\frac{1}{k−1}[/tex] doit de plus être un carré... ce qui n'est jamais vrai et ça, il faut le prouver.

qui répond à votre objection...

Quant à votre démonstration, ok ! J'y ai pensé cette nuit dans mon lit et j'attendais la réaction de notre ami (je l'ai vu passer) pour l'écrire...
C'est fait, parfait !

totomm a écrit :

Si on recherche toujours une démonstration (je pense que ali55 en a une qu'il n'a pas entièrement explicitée) :

Sûrement, mais alors, il est très difficile de répondre à sa demande initiale :

Deux cas
pour k #2, le rapport est non entier
pour k=2 [tex]a=b\sqrt 3[/tex] donc a non entier
ce qui est en contradiction avec a appartenant à N
dans les 2 cas la proposition est donc vraie
Si quelqu'un a une demo plus rigoureuse elle sera la bienvenue

totomm · 09-09-2014 13:27:21

ReBonjour,

@ yoshi : Je ne faisais pas d'objection en ajoutant "...d'un nombre rationnel, pour k entier."
Je redonnais les hypothèses nécessaires à une démonstration qui allait suivre, que vous appeliez et qui n'était pas donnée à déjà plus d'une semaine de l'énoncé...
et nul doute que la dernière nuit vous fut de bon conseil.

@ ali55 : au post #18 vous commencez par "accompagné d'un rapport irréductible"...
Ce qui m'a incité à croire que vous aviez vraiment une démonstration il y a déjà 2 jours.

yoshi · 09-09-2014 13:55:12

RE,

et nul doute que la dernière nuit vous fut de bon conseil.

Et pourtant, je devrais dormir, ça ne me vaut rien de cogiter comme ça : je rate comme ça le "premier train du sommeil"... Obligé d'attendre le suivant qui ne passe pas tout de suite !

@+

ali55 · 09-09-2014 21:15:41

bonsoir,

désolé pour le retard de réponses,

merci pour l'interet yoshi mais je commence à douter de ce j'ai fait! j''ai une obs concernant ta démo:

à partir de ton resultat 1 inf à 1 + 1/k-1 inf à 2, on utilise la croissance de la fct racine d'où:

1 inf à racine(1 + 1/k-1) inf à racine 2 et donc termine ta démonstration en observant que ce nombre ne peut être entier

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 01-09-2014 18:28:01

démonstration par l'absurde

#2 01-09-2014 19:15:04

Re : démonstration par l'absurde

#3 01-09-2014 20:53:30

Re : démonstration par l'absurde

#4 01-09-2014 21:31:06

Re : démonstration par l'absurde

#5 01-09-2014 23:50:00

Re : démonstration par l'absurde

#6 02-09-2014 08:50:20

Re : démonstration par l'absurde

#7 02-09-2014 16:48:27

Re : démonstration par l'absurde

#8 02-09-2014 17:03:42

Re : démonstration par l'absurde

#9 04-09-2014 01:05:14

Re : démonstration par l'absurde

#10 04-09-2014 11:50:29

Re : démonstration par l'absurde

#11 04-09-2014 17:53:37

Re : démonstration par l'absurde

#12 05-09-2014 07:20:38

Re : démonstration par l'absurde

#13 05-09-2014 18:11:42

Re : démonstration par l'absurde

#14 05-09-2014 22:51:28

Re : démonstration par l'absurde

#15 06-09-2014 21:11:49

Re : démonstration par l'absurde

#16 06-09-2014 22:04:27

Re : démonstration par l'absurde

#17 07-09-2014 07:15:09

Re : démonstration par l'absurde

#18 07-09-2014 21:10:09

Re : démonstration par l'absurde

#19 08-09-2014 12:18:46

Re : démonstration par l'absurde

#20 09-09-2014 11:05:24

Re : démonstration par l'absurde

#21 09-09-2014 11:40:27

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#22 09-09-2014 13:27:21

Re : démonstration par l'absurde

#23 09-09-2014 13:55:12

Re : démonstration par l'absurde

#24 09-09-2014 21:15:41

Re : démonstration par l'absurde

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