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pepito

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Théorème de Riesz-Fischer

Bonjour ,
comment allez vous ?
Bon voilà j'ai un petit probleme je vais entamer mon annee en mp et j'etais entrain de faire des revisons quand je suis tombé sur ce theoreme .Je ne sais pas trop comment l'interpreter ni "à quoi il sert" (j'ai bien mis la phrase entre guillemet :D). Concretement , quand est ce qu'on l'utilise ?
Soit E un espace euclidien et f une forme linéaire de E .il existe un unique a appartenant à E tel que :
pour tout x appartenant à E, f(x)=<a;x>.
merci de me répondre
ps: juste par curiosité je me suis rendu compte en écrivant ce théorème qu'on utiliser un forme linéaire DE E et non pas SUR E pourquoi cela ? une forme lineaire est elle propre a un espace ?

Legendre

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Re : Théorème de Riesz-Fischer

Salut,

En considérant le produit scalaire définie sur [tex]\mathbb{R}[X][/tex] par

[tex]\hspace{3cm}\forall P_{1},P_{2} \in \mathbb{R}[X] \hspace{1cm}  (P_{1}|P_{2})=\int_0^{1}\,P_{1}(x)P_{2}(x)\,dx[/tex]

Tu peux montrer qu'il n'existe pas de polynôme [tex]A \in \mathbb{R}[X][/tex] tel que pour tout [tex]P \in \mathbb{R}[X][/tex], [tex](P|A)=P(0)[/tex]. Résultat des courses [tex]\mathbb{R}[X][/tex] est de dimension infinie.

Choukos

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Re : Théorème de Riesz-Fischer

Salut,
Si je ne dis pas de bêtises, je crois que la convention est que le théorème que tu énonces s'appelle théorème de représentation de Riesz ou Fréchet-Riesz pour éviter les ambiguïtés (y'en a plein des théorèmes "de Riesz" et parfois pas le même). Le théorème de Riesz-Fischer concerne la complétude des espaces L^p, c'est autre chose.

Pour les formes linéaires, tu précises uniquement l'espace de départ car l'espace d'arrivé est toujours R (ou plus généralement, le corps avec lequel tu as défini ton e.v.).

Ce théorème signifie que tu peux identifier les formes linéaires de E aux vecteurs de E, c'est à dire que E* est isomorphe à E, ce qui revient plus ou moins à dire qu'étudier E* ou E c'est juste un changement de point de vue sur la même chose.

pepito

Invité

Re : Théorème de Riesz-Fischer

Salut,

En considérant le produit scalaire définie sur [tex]\mathbb{R}[X][/tex] par

[tex]\hspace{3cm}\forall P_{1},P_{2} \in \mathbb{R}[X] \hspace{1cm}  (P_{1}|P_{2})=\int_0^{1}\,P_{1}(x)P_{2}(x)\,dx[/tex]

Tu peux montrer qu'il n'existe pas de polynôme [tex]A \in \mathbb{R}[X][/tex] tel que pour tout [tex]P \in \mathbb{R}[X][/tex], [tex](P|A)=P(0)[/tex]. Résultat des courses [tex]\mathbb{R}[X][/tex] est de dimension infinie.

Desolé mais je n'ai rien compris :(

Legendre

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Re : Théorème de Riesz-Fischer

Salut,

Tu raisonnes par l'absurde en supposant qu'il existe [tex]A \in \mathbb{R}[X][/tex], en considérant alors le polynôme [tex]P=(1-X)^n[/tex] avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tu as [tex]P(0)=1[/tex] et [tex](P|A) ≤ \frac{M}{n+1}[/tex] avec [tex]M=sup_{t \in [0,1]}(A(t))[/tex] qui tend vers 0 en l'infini. L'application [tex]P \mapsto P(0) [/tex] est une forme linéaire hors il n'existe pas de polynôme [tex]A[/tex] tel que [tex]\forall P \in \mathbb{R}[X], (A|P)=P(0)[/tex]. Ainsi [tex]\mathbb{R}[X][/tex] est de dimension infinie.