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Gon

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Majorer valeur absolue de...

Salut!
J'aurai besoin d'aide pour comprendre cette inégalité, quelqu'un pourrait-il me donner une explication s'il vous plait? Merci d'avance !

[tex]\left| \frac{e^{i {\frac{(n+1)x}{2}}}  \sin\left(  \frac{(n+1)x}{2}\right) }  {e^{i \frac{x}{2}} \sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|  \le \frac {1} {\left| \sin\left( \frac{x}{2}\right) \right| }[/tex]

Votre aide serait plus que bienvenue ! Merci d'avance!

(l'énoncé est complet cette fois)

Dernière modification par Gon (23-06-2014 15:59:26)

SAKLI

Invité

Re : Majorer valeur absolue de...

Salut !
Tu cherches sûrement à montrer la convergence de la série des einθ/n par Transformation d'Abel :)

En tout cas, pour tout x, |e^ix|=|cos(x)+isin(x)|=1
Par ailleurs, pour tout x, sin(x)=<1
D'où la majoration recherchée ;)

yoshi

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Re : Majorer valeur absolue de...

Bonjour,

En principe :

[tex]\left| \frac{e^{i {\frac{(n+1)x}{2}}}  \sin\left(  \frac{(n+1)x}{2}\right) }  {e^{i \frac{x}{2}} \sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|=\left| e^{i\frac{(n+1)x-x}{2}}\times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|=\left|e^{i\frac{nx}{2}}\times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|=\left|e^{i\frac{nx}{2}}\right|\times\left|\frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|[/tex]

1.   [tex] \left|e^{i\frac{nx}{2}}\right| = 1\quad \forall n[/tex]

2.   [tex]\left|\frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x} {2}\right)}\right|=\frac{\left|\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\right|}{\left|\sin \left(\frac{x} {2}\right)\right|}[/tex] , et  [tex]\left|\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\right| \leqslant 1\quad \forall n[/tex] qui se simplifie par [tex]1-a[/tex]...

@+

[EDIT]
Après relecture attentive du post de SAKLI, je viens de comprendre ce qu'il a écrit : avec LateX, c'était plus facile..
A passage, le 1er membre de ton inégalité, en liaison avec ton autre post, s'écrit aussi
[tex]\left|\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\right|=\left|\frac{1-\left(e^{ix}\right)^{(n+1)}}{1-e^{ix}}\right|[/tex]
Si je note [tex]a[/tex] le complexe [tex]e^{ix}[/tex], l'écriture devient :
[tex]\left|\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\right|[/tex]  qui se "simplifie" (!) par 1-a
Reste à savoir si c'est exploitable...

Dernière modification par yoshi (24-06-2014 08:38:11)

Gon

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Re : Majorer valeur absolue de...

Merci  !