arithmétique

marioss · 07-06-2014 10:34:00

salut tout le monde ,

j'ai vraiment besoin d'aide à cette question . voilà :

sachant que :

1)[tex]p\geq5[/tex] (p étant un nombre premier)

p² = 1 [12 ] (j'ai réussi à démontrer cela )

2)m² = 1 [12] tel que : [tex]m= 2^{n}+3^{n}[/tex]

[tex]\to[/tex] trouver n de N* tel que : m = 0 [7]

merci d'avance

Dernière modification par marioss (07-06-2014 11:13:38)

yoshi · 07-06-2014 11:52:39

Salut,

Quel rapport y a-t-il entre m et p ? Je n'en vois pas dans l'énoncé...
Il faut donc trouver un multiple de 7 qui soit la somme de 2 puissances identiques de 2 et 3 :
2^2+3^2= 13
2^3+3^3= 35 ---> multiple de 7 ; [tex]35^2 = 1225 = 1200+25 = 1200 + 24 + 1 \equiv 1\;[12][/tex]
2^4+3^4= 97
2^5+3^5= 275
2^6+3^6= 793
2^7+3^7= 2315
2^8+3^8= 6817
2^9+3^9= 20195 ---> multiple de 7 ; (je prends la calculette Windows) [tex]20195^2 = 407838025 \equiv 1 [12][/tex]

Alors je me suis demandé 2^15+3^15 répondait à la question.
Là, je sors Python qui me dit 2^15+3^15 = 14381675 et 14381675^2 = 206832575805625 et 206832575805625 % 12 = 1...

Alors pourquoi pas 2^21+3^21 ?
2^21+3^21 = 10462450355 multiple de 7.
et 10462450355^2 = 109462867430839626025 %12 = 1...

Quelqu'un va bien te trouver une réponse non empirique à cette observation...

@+

totomm · 07-06-2014 17:49:09

Bonsoir,

Pour le 2)
Si [tex]m= 2^{n}+3^{n}[/tex] on peut voir que m² = 1 [12] pour n>1
Il est ensuite intéressant de ne traiter que m = 0 [7]
Le premier n est n=3
On applique ensuite à [tex]2^{n}+3^{n}[/tex] la propriété : "le reste modulo k est la somme des restes avec le même modulo"
et on obtient [tex]n=6k+3[/tex] pour tout [tex]k\geq 0[/tex]

freddy · 07-06-2014 20:02:26

Salut,

avec marioss, j'attends désormais d'avoir l'énoncé complet, et j'attends qu'il nous dise ce qu'il nous cache :-)))

totomm · 07-06-2014 20:08:04

Bonsoir,

@ freddy : oui, ce serait mieux de l'obliger à plus de précision. je m'y conformerai [ j'essaierai :-)) ]

marioss · 07-06-2014 20:46:40

salut

c'est ça l'énoncé complet ( confiance )

@ totomm

comment appliquer : " le reste modulo k est la somme des restes avec le même modulo "

je ne parviens pas à déterminer une relation avec les différentes restes .

Dernière modification par marioss (07-06-2014 20:48:21)

totomm · 07-06-2014 23:04:44

Bonsoir,

Vous devez avoir eu un cours sur les congruences des entiers...

Faites un tableau des [tex]2^n[7]\ et\ 3^n[7][/tex] pour au moins une dizaine ou une quinzaine de valeurs successives de [tex]n[/tex]
Et additionnez les modulo 7 pour chaque n.

marioss · 08-06-2014 00:39:52

ah oui je me souviens merci

mais cette question est retiré d'un examen . alors ne croyez pas qu'il faut agir autrement ?

totomm · 08-06-2014 10:37:38

Bonjour,

A marioss : Bien sûr qu'il faut faire autrement, je ne faisais que vous convier à prendre conscience des propriété cycliques des "congruences sur les entiers"

Et pour rédiger un résultat "démontré",il faut que vous citiez en les utilisant les propriétés "démontrées en cours" pour montrer que vous avez "assimilé" ces propriétés et savez les utiliser !!!.

Je rédige pour exemple :

La congruence modulo n a pour propriétés (démontrées en cours)
Si a1 ≡ b1 [n] et a2 ≡ b2 [n], alors [tex]a1 + a2 \equiv (b1 + b2) [n][/tex] et [tex]a1a2 \equiv (b1b2) [n][/tex]

[tex]3^1\equiv 3 [7][/tex]
[tex]3^2=3^1.3^1\equiv (3\times 3) [7] \equiv 2 [7][/tex]
[tex]3^3=3^2.3^1\equiv (2\times3) [7] \equiv 6 [7][/tex]
[tex]3^4=3^3.3^1\equiv (6\times3) [7] \equiv (4 [7][/tex]
[tex]3^5=3^4.3^1\equiv (4\times3) [7] \equiv (5) [7][/tex]
[tex]3^6=3^5.3^1\equiv (5\times3) [7] \equiv (1) [7][/tex]
[tex]3^7=3^6.3^1\equiv (1\times3) [7] \equiv (3) [7][/tex]
etc. le cycle est de 6 ( et pas besoin de calculette pour avoir [tex]3^6 \ ou\ 3^7\ modulo\ 7[/tex] ! )

idem pour 2 le cycle est de 3

en additionnant les modulos pour n=1 puis 2, puis 3 : [tex](2^3+3^3)\equiv{(1+6)[7]}\equiv{0[7]}[/tex]
le cycle est de 6 donc [tex]2^n+3^n \equiv{0[7]}\ pour\ n=6k+3,\ \forall{k\geq 0}
[/tex]

marioss · 08-06-2014 12:42:26

merci beaucoup

freddy · 10-06-2014 13:16:40

Salut,

le 1) se résoud de la manière suivante, à toutes fins utiles.

tout nombre [tex]p \ge 5[/tex] s'écrit comme suit pour [tex]k \in N^*[/tex] : [tex]6k-1,\, 6k,\, 6k+1,\, 6k+2,\, 6k+3,\, 6k+4[/tex].
Si p est premier, alors il est de la forme [tex]6k \pm 1[/tex], les autres étant pair !
Si p² est congru à 1 modulo 12, alors [tex]p^2-1 = (p-1)\times(p+1) \equiv 0 \mod12[/tex].

Or [tex]p=6k \pm 1[/tex] implique [tex]p^2-1 = 12k\times (3k \pm 1) \equiv 0 \mod12[/tex].

PS : on a un résultat encore plus fort, en ce sens que si p est premier, alors p² est aussi congru à 1 modulo 24 !

Dernière modification par freddy (10-06-2014 13:20:30)

freddy · 11-06-2014 18:38:43

Re,

(je fais le point 2 à ma manière)

Pour la seconde partie, on observe tout d'abord que si [tex]m=2^n+3^n[/tex], alors [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*,\, m^2 \equiv 1 \mod12[/tex] car[tex] m^2=4^n+9^n+2\times 6^n \equiv 4 +(- 3) = 1 \mod12[/tex].

Ensuite, on s'intéresse à [tex]n[/tex] entier positif tel que [tex]m \equiv 0 \mod7[/tex]

Comme le fait remarque totomn, n = 3 convient puisque [tex]2^3 \equiv 1 \mod7[/tex] et [tex]3^3 \equiv -1 \mod7[/tex]

Le prochain terme est [tex]3+3+3 [/tex] puisque [tex]2^{3+3+3} \equiv 1 \mod7[/tex] et [tex]3^{3+3+3}=(3^3)^2\times 3^3 \equiv -1 \mod7[/tex].

Et donc on en vient à la solution de totomn, savoir [tex]n = 3\times (2k+1)[/tex] puisque [tex](3^3)^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1} =-1 \mod7[/tex]

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