inégalité

marioss · 02-06-2014 20:17:33

salut,

quelqu'un pourra m'aider ça sera tellement un grand plaisir .

on considère F tel que : [tex]F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{t}dt [/tex] x>0

[tex]F(0)=-ln(2)[/tex]

avec :[tex]f(x)=e^{2x}-2e^{x}[/tex]

montrer que :

quelque soit x de [tex]{R}_+^{\large\ast}[/tex] on a

[tex]0 \leq F(x)+ln(2) \leq f(2x)-f(x)[/tex]

merci d'avance

Dernière modification par marioss (02-06-2014 20:20:23)

Fred · 02-06-2014 22:12:33

Salut,

Je n'ai pas fait l'exercice, mais je vais t'expliquer comment je m'y prendrais :
* pour l'inégalité de gauche, il faut prouver que [tex]\int_x^{2x}\frac{f(t)}t\geq -\ln 2[/tex]
Or, [tex]-\ln 2=\int_x^{2x}\frac{-1}{t}dt [/tex]
Il suffit donc de prouver que, pour tout t>0, [tex]\frac{f(t)}t\geq 1 [/tex]
Cela te fait une fonction d'une variable assez simple à étudier...

* pour l'inégalité de droite, cela ressemble à un exercice dont tu as déjà parlé. Je poserais
[tex]G(x)=F(x)+\ln 2-f(2x)+f(x)[/tex]
et je dériverais cette fonction pour étudier ses variations. Le but est de prouver qu'elle est toujours négative.

Fred.

marioss · 02-06-2014 22:28:21

en effet , la dérivée de F n'est demandé qu'après cette question . que voyez-vous ?

freddy · 02-06-2014 22:52:40

Salut,

je te suggère de reprendre les remarques de Fred en observant au préalable que [tex]f(x)=(e^x-1)^2-1[/tex] ...

marioss · 02-06-2014 22:57:22

plus d'indication s'il vous plait ...

freddy · 03-06-2014 06:44:30

Bonjour,

Membre de gauche

Pour [tex]x \in \mathbb{R_+^*}[/tex], on a [tex]F(x) = \int_{x}^{2x}\frac{(e^t-1)^2}{t}-\frac 1 t\,dt[/tex],
donc [tex]F(x)+\ln 2=\int_{x}^{2x}\frac{(e^t-1)^2}{t}\,dt \ge 0[/tex]

Ensuite, on remarque que [tex]F(x)+\ln 2[/tex] est une fonction croissante pour [tex]x \gt 0[/tex] puisque [tex]\frac{(e^x-1)^2}{x} \gt 0 [/tex], ce qui achève la démonstration.

Pour le membre de droite, Il me semble qu'il faut de se souvenir que [tex]\int_{a}^{b} h(t)\,dt \le (b-a)\times \left(h(b)-h(a)\right)[/tex] sous certaines conditions satisfaites ici.

Dernière modification par freddy (03-06-2014 07:01:38)

totomm · 03-06-2014 11:07:17

bonjour,

Grand Merci, Freddy, de re-activer les souvenirs je me demandais comment traiter le membre de droite !

C'est [tex]\leq[/tex] (Aire du trapèze) si la dérivée de h est toujours >0 et [tex]\geq[/tex] si la dérivée de h est toujours <0
(dans l'intervalle [a,b]).

marioss · 03-06-2014 15:00:58

@totomm

j'ai mal compris l'idée .

freddy · 03-06-2014 18:47:39

Salut,

la réponse est à peu près conforme à ça

marioss · 03-06-2014 19:17:16

je pense que totomm dit l'inverse en ce qui concerne la monotonie de la fonction

totomm · 03-06-2014 21:45:31

Bonsoir,

Le majorant fourni par la méthode du trapèze (de hauteur 2x-x) est bien lui-même inférieur à celui proposé dans l'exercice.
En remarquant bien sûr que 4Ln2 < 3.

à vous, marioss, de calculer...

Edit : Ce problème pourrait être au niveau terminale S de lycée un "bon" problème d'étude de courbes,
avec calculs multiples de dérivées et recherche de minima...( avec une bonne calculette !!!)
Mais, marioss, ne suivez pas mon conseil : Vous n'aurez pas ce genre de calculs dans un problème au baccalauréat.
Retenez cependant qu'il faut commencer par vérifier que [tex]\frac{e^{2x}-2e^x}{x}[/tex] a bien une dérivée >0 pour x>0
alors vous pouvez appliquer la méthode du trapèze, etc...

Dernière modification par totomm (03-06-2014 22:38:50)

marioss · 06-06-2014 06:46:00

Bof, le maître nous a demandé de démontrer et utiliser cela : pour tout t>0: f(t)+1<tf'(t)

je pense que l'exercice et résolu .

Dernière modification par marioss (06-06-2014 06:46:53)

yoshi · 06-06-2014 06:51:12

Salut,

Bof,

Ah que voilà une appréciation qui devait faire très plaisir à Fred, freddy et totomm ! :-(

@+

marioss · 06-06-2014 07:04:52

salut,

oui mais effectivement il est vraiment très agréable de se procéder sans une indication .

bravo!!!

Dernière modification par marioss (06-06-2014 07:44:38)

totomm · 06-06-2014 09:27:09

Bonjour,

marioss a écrit :

Bof, le maître nous a demandé de démontrer et utiliser cela : pour tout t>0: f(t)+1<tf'(t)

C'est tellement lumineux que j'en ai éclaté de rire aussitôt. donc pas :-(

au contraire :
freddy a bien vu au post #4 et il n'y a pas de difficulté pour montrer que pour tout x>0
[tex]f(x)+1=(e^x-1)^2< xf '(x)=2x(e^{2x}-1) =2x(e^x-1)(e^x+1)[/tex]

Je ne renie pas ma démonstration laborieuse obtenue par la méthode du trapèze,
mais quelle incitation à la modestie quand on voit après coup qu'il fallait mieux ouvrir les yeux sur la forme du membre le plus à droite de l'inégalité,
Ce que proposait Fred au post #2 en conseillant de regarder la dérivée…

totomm · 07-06-2014 09:04:08

Bonjour,

@ yoshi : Le Bof ! De marioss, c'est sa façon à lui de tirer un enseignement de ce problème...
Bien plus intéressant est d'avoir (re)-compris la dérivation d'une intégrale définie
Telle que [tex]f(2x)-f(x)=\int_x^{2x}f '(t)dt[/tex]. :-))

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