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Teaky

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Exercice fonction exponentiel

Bonjour, Voila j'ai un exercice de maths a faire et il es assez difficile de le terminer pour moi pourriez vous m'aider.
Sujet :
Une réserve d'eau naturelle est aménager pour la baignade. Un système d'évacuation permet de maintenir dans ce bassin, en toutes circonstances,un volume d'eau constant égal à 50 000 litres. À la suite de pluies torrentielles, des eaux de ruissellement, polluées par des pesticides, se deversent dans ce bassin.
On a déterminer le volume Yi (en litres) de pesticides contenus dans le bassin a l'instant Ti (en heures).
Les resultats figures dans le tableau suivant :
Ti 0 20 40 60 80 100
Yi 0 173 375 502 688 778
On Pose Zi= (-7) + ln(2000 - Yi)

Ce que j'ai déjà fais :

Q1) Compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de Zi à 10^-2 près.
Ti 0 20 40 60 80 100
Zi 0,6 0,51 0,39 0,31 0,18 0,11

Q2) J'ai réaliser le graphique correspondant au tableau précédant.

Q3) a. Calculer les coordonnée du point G1 des 3 premiers points du nuage et celles du points G2 des 3 dernier points du nuage.
G1: Zi Moyen = (0,11 + 0,18 + 0,31)/3 = 0,2
Ti Moyen = (100 + 80 + 60 )/ 3 = 80
G1(0,2;80)

G2: Zi Moyen = (0,39 + 0,51 + 0,60 )/3 = 0,5
Ti Moyen = (40 + 20 + 0) = 20
G2(0,5;20)

b. J'ai placer c'est deux points sur le graphique et tracer la droite (G1G2)
c. Déterminer l'équation de la droite :
Y = ax + b
a=(0,2-05)/(80-20)=-0.005
YB = a * xB + b
80 = - 0,005 * 0,2 + b
- b = (-0,005 * 0,2) / 80 = - 1,25.10⁻⁵
b = 1,25.10⁵

Y = - 0.005t + 1,25.10⁵

Q4) ON considère que la droite (G1G2) constitue un ajustement affine convenable du nuage de point Mi(Ti; Zi). À l'aide du résultat obtenueà la question 3c) montrer que l'on peut choisir comme expression approchée de Y en fonction de T : Y = 2000 (1-e^-0,005t)

Voila je suis completement bloqué a cette question.

Q5) La baignade devient dangereuse dès que le taux de pesticides contenus dans l'eau atteint 2 %.
a. Pour quel volume de pesticides ce taux est il atteint ?
50 000 litre d'eau ?
100 % 2%

Ici est comme cela qu'il faut raisonner ?

b. Résoudre l'inéquation suivante : 2000(1 - e^-0,005t)> 1000
<=> (1 - e^-0,005t)> 0,5
Ensuite je suis bloquée :/

c. En déduire au bout de combien de jours la baignade sera dangereuse.
d. Comment peut on vérifier graphiquement ce résultat ?

Merci à ceux qui pourrons m'aider !!

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Bonsoir Teaky, pas mal déjà, mais quelques erreurs d'étourderies :
Pour [tex]G_1[/tex] et [tex]G_2[/tex], tu as inversé les x et les y, et aussi, tu as inversé [tex]G_1[/tex] et [tex]G_2[/tex], (si on considère que les trois premiers points sont ceux à plus faible abscisse).
Du coup, le b de ton équation de droite est faux, (pour la a tu as bon, mais attention la formule est la différence des y sur celle des x).

Enfin, je te conseille ici d'écrire non pas [tex]y=ax+b[/tex] mais [tex]z=ax+b[/tex], le y arrivera après, et c'est peut-être là que ton blocage arrive.

Faisons le point en image :

Dernière modification par ymagnyma (09-05-2014 17:46:59)

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Maintenant, tu vas trouver [tex]b=0.6[/tex] et donc tu as à ta disposition deux relations, l'une reliant [tex]z[/tex] et [tex]y[/tex] donnée en énoncé, l'autre entre [tex]z[/tex] et [tex]x[/tex], ou plutôt [tex]z[/tex] et [tex]t[/tex], trouvée dans la question précédente.

*  [tex]z=-7 + ln(2000-y)[/tex]
*  [tex]z=-0.005t+0.6[/tex]

Vois-tu ce qu'il reste à faire ?

▼indication

[tex]e^{7,6} \simeq 2000[/tex]

Dernière modification par ymagnyma (09-05-2014 17:54:26)

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Pour la question 5, d'abord, 2% du volume d'eau, ça représente quelle quantité, en L, de pesticide ?

Cette quantité, c'est un y, et on te demande de trouver le temps t qui lui correspond.

Donne moi déjà la réponse à la question, on cherchera le temps après.

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

p.s. je peux avancer ce soir mais serai indisponible tout le week-end.

Teaky

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Re : Exercice fonction exponentiel

J'ai réussis à faire toute ma question 3.
Je retrouve bien b= 0,6

Cependant je ne voie pas comment avec ces deux équations :
*  z=−7+ln(2000−y)
*  z=−0.005t+0.6

Je peux arriver a Y = 2000 (1-e^-0,005t)

Je n'arrive pas à les mettre en commun pour arriver a isoler le y :/

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Les mettre en commun, c'est assez ... simple, non ?
si z=a et que z=b, alors a=b, ou alors on est foutu.

Donc, on part de l'équation -7+ln(2000-y)=-0.005t+0,6.

Déjà, on retrouve des choses sympathiques vu la réponse attendu, à savoir un 2000 qui traine, mais en facteur, bizarre, à voir pourquoi, le -0.005t dans une exponentielle et le y qui n'est plus dans le ln. Si tu te souviens des relations ln et exp, ça semble bien parti.

Rappels, si [tex]ln(A)=B[/tex] alors [tex]A =e^B[/tex]

Par ailleurs, [tex]e^{C+D}=e^C * e^D[/tex].

L'idée est donc d'abord de ramener l'équation à ln(A)=B c'est-à-dire, le ln tout seul d'un côté, le reste de l'autre.

Qu'est ce que ça donne ?

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

−0.005t+0.6 = −7+ln(2000−y)
0.6 + 7 = ln(2000 - y) + 0,005t

J'en suis la mais je suis incapable de faire apparaître le "e" !

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

Sa me donne :
7,6 - 0,005t = ln (2000 - y )
e^7,6- e^0,005t = e^(2000-y)

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

Je pense que c'est cela :
7,6 - 0,005t = ln (2000-y)

e^7,6- e^0,005t = e^(2000-y)

e^7,6 - e^0,005t = e^0,005t / e^y

e^y = e^7,6 - e^0,005t * e²⁰⁰⁰

y = 2000 (1- e^(-0,005t)

Est ce cela ?

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

Pour la Q5 )

50 000 Litre d'eau --> 100 %
           Y                --> 2 %

On réalise donc un produit en croix qui donne : Y = (50 000 * 2) / 100 = 1000

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Je pense que c'est cela :
7,6 - 0,005t = ln (2000-y)

e^7,6- e^0,005t = e^(2000-y)

e^7,6 - e^0,005t = e^0,005t / e^y

e^y = e^7,6 - e^0,005t * e²⁰⁰⁰

y = 2000 (1- e^(-0,005t)

Est ce cela ?

Oui pour

Je pense que c'est cela :
7,6 - 0,005t = ln (2000-y)

Non pour la suite, de nouveau : [tex]e^{C-D}=e^C*e^{-D}[/tex]
ensuite, relis l'indication donnée au post#3, et factorise, tu auras le résultat.

Passons à Q5, oui, 1000 L, donc maintenant tu cherches t pour que y=1000 L

Dernière modification par ymagnyma (09-05-2014 20:30:29)

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Autrement-dit, tu cherches à résoudre [tex]1000=2000(1-e^{-0.005t})[/tex].

Remarques

* cette fois, il faut sortir le t de l'exponentielle, ça ressemble à ce qu'on a fait avant, on va passer au ln quand on aura isolé l'exponentielle, puisque si [tex]e^B=A[/tex] alors [tex]B= ln(A)[/tex].

  Transforme donc [tex]1000=2000(1-e^{-0.005t})[/tex] en [tex]e^B=A[/tex] ou [tex]A=e^B[/tex] puis passe au ln.

*  quand tu auras compris comment la résoudre, tu pourras faire correctement l'inéquation finale.

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Retour la dessus : ces deux lignes sont vraiment fausses.

J

e^7,6- e^0,005t = e^(2000-y)

y = 2000 (1- e^(-0,005t)

Explication : tu as pris l'exponentielle de chaque côté, c'est bien, MAIS :
à gauche, il y avait [tex]7,6-0.005t[/tex], tu as donc [tex]e^{7,6-0.005t}[/tex]
à droite, il y avait [tex]ln(2000-y)[/tex], tu as donc [tex]e^{ln(2000-y)}[/tex] qui se simplifie en [tex]2000-y[/tex], d'où l'usage de l'exponentielle sur un ln.

On obtient finalement [tex]e^{7,6-0.005t}=2000-y[/tex] puis, en travaillant un peu, et en utilisant les remarques précédentes, le résultat.

Pour la dernière ligne, qui est le résultat attendu, c'est le passage de ta ligne précédente à celle là qui n'est pas compréhensible.

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

Pour la Q4)
j'ai donc 7,6 - 0,005 = ln ( 2000 - y )
             7,6 - 0,005 = e²⁰⁰⁰ * e^{- Y}
             e^7,6- e^0,005t = e²⁰⁰⁰ * e^{- Y}

yoshi

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Re : Exercice fonction exponentiel

Salut,

Relis le post #14 d'ymagnyma juste au dessus du tien, puis relis le tien...
Recommence ce va-et-vient si nécessaire ! 
1 min 36 entre le moment où ymagnyma a posté et celui où tu toi tu as posté : tu n'as donc pas dû lire le post #14  : excellente raison pour le faire !

@+

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

7,6 - 0,005t = ln ( 2000 - y )
e^{7,6 - 0,005t} = e ^ln(2000-y)
e^{7,6 - 0,005t} = 2000 - y

J'ai compris pour tout ça. mais je ne m'arrive pas a comprendre comme faire apparaitre le 1 dans (1−e^−0.005t)

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

1000 = 2000 ( 1 - e ^{- 0,005t})
1000 = 2000 -  e ^{- 0,005t}
- 1000 = -  e ^{- 0,005t}
1000 = e ^{- 0,005t}
ln 1000 = ln 0,995t
1000 / 0,995 = t
t = 1005
Est ce ça ? Je ne pense pas :/

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Réponse au post#17 : transforme[tex] e^{7,6-0,005t}[/tex] en un produit d'exponentielles, (pas en une différence comme tu le faisais avant).
Puis, comme indiqué au post#3, évalue [tex]e^{7,6}[/tex] à la calculatrice et n'hésite surtout pas à arrondir à la dizaine !
Isole alors y puis factorise, le 1 arrivera tout seul.

Autre méthode, vu que tu n'es pas loin du résultat : développe le résultat qu'on te donne, [tex]y=2000(1-e^{-0,005t})[/tex], retrouve le 2000-y et compare.

Pour le post#18 tu avais fait mieux au post#1 pour l'inéquation, dans le passage de la première à la deuxième ligne, tu dois diviser de chaque côté par 2000 et non soustraire, sans quoi ça donne autre chose à droite.

Ensuite, dans le passage de la ligne 4 à la ligne 5, tu manques de rigueur à droite, tu avais une exponentielle, elle a disparue. Trot tôt.
C'est le couple exp(ln(A)) ou ln(exp(A)) qui fonctionne, et se simplifie, (c'est ça le tour de passe passe).

Dernière modification par ymagnyma (09-05-2014 21:46:43)

Teaky

Invité

Re : Exercice fonction exponentiel

Je te remercie pour tout l'aide que tu m'as apporter , je pense avoir enfin compris. Je l'espère en tout cas. je finirais cela demain je ne suis plus assez en forme pour continuer. En tout cas Merci. Et bonne fin de soirée :)

ymagnyma

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Re : Exercice fonction exponentiel

Ok, de rien, bonne soirée aussi, demain, ce sera un grand maître qui te répondra sans doute, bon courage pour la fin.

yoshi

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Re : Exercice fonction exponentiel

Salut,

Qu'il est flatteur !
Grand Maître ? 1,73 m...
Bon soyons sérieux. Je voudrais revenir, en attendant tes questions, sur divers points.

Post #17, tu écris :

e^7,6 - 0,005t = 2000 - y

J'ai compris pour tout ça. mais je ne m'arrive pas a comprendre comme faire apparaitre le 1 dans (1−e^−0.005t)

Ymagnyma, post #3, t'a signalé que [tex]e^{7.6}\approx 2000[/tex]
Pourquoi cette idée lui est-elle venue ?
PBin, si on ouvre les yeux et qu'on observe attentivement : dans la formule à laquelle tu es arrivé, le [tex]e^{7.6}[/tex] est encore là, dans la formule attendue, il n'y est plus...
Alors, on se dit : tiens, bizarre ! Comment "ça se fait" ?
Et on calcule, et on trouve [tex]\approx 1998.195895104\cdots[/tex]...
Et on se dit que ce n'est pas loin de 2000...
On remplace et on essaie en remplaçant [tex]e^{7.6-0.005t}[/tex] par [tex]e^{7.6}\times e^{-0.005t}[/tex] puis par [tex]2000e^{-0.005t}[/tex]
Et là, tu passes de [tex] y = 2000-e^{7.6-0.005t}[/tex] à [tex] y = 2000-2000e^{-0.005t}[/tex] et tu vois ce qu'il te reste à faire...

Post #18, tu passes de
1000 = 2000(1-e^-0.005t)
à
1000 = 2000 -  e ^{- 0,005t}
Tu as oublié qu'entre 2000 et la parenthèse, il y a une multiplication, alors 2000 est un facteur pas un terme, donc :
[tex]\frac{1000}{2000}=1−e^{−0.005t}[/tex]
A moi, les virgules donnent des boutons, donc comme 1000/2000 = 1/2 et 0.005 =1/200
alors j'écris
[tex]\frac 1 2 = 1-e^{−\frac{t}{200}}[/tex]
Maintenant tu dois te "débarrasser" de l'exponentielle, mais avant, le 1 doit changer de membre...

@+

freddy

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Re : Exercice fonction exponentiel

Salut,

c'était "grand maître" au sens Joueur d'échecs !!!

yoshi

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Re : Exercice fonction exponentiel

Salut

^_^ Encore plus flatteur et irréaliste !

@+