Forum de mathématiques - Bibm@th.net

marioss

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arithmétique

s'il vous plait quelqu’un pourra m'aider et merci d'avance ... voilà :

soit p un nombre premier et x appartenant à N . montrez que :

si    :          x=1 [ p ]

on a :         x^p = 1 [ p² ]

Fred

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Re : arithmétique

Voici une preuve possible.

Si [tex]x=1 [p] [/tex], alors il existe un entier m tel que [tex]x=1+mp[/tex]
Je mets le tout à la puissance p, je développe à l'aide de la formule du binôme et il vient :
[tex]x^p =(1+mp)^p = 1+\sum_{k=1}^{p}\binom pk  m^kp^k.[/tex]

Mais, pour k valant 1, on a le terme [tex] p\times kp[/tex] qui est bien divisible par [tex]p^2[/tex].
Et pour [tex]k\geq 2[/tex], on a le terme en [tex]p^k[/tex] qui est divisible par [tex]p^2[/tex].

Ainsi, [tex] \sum_{k=1}^{p}\binom pk  m^kp^k[/tex] est divisible par [tex]p^2[/tex] et on a le résultat voulu.

Le problème de cette méthode est que la formule du binome n'est plus au programme des lycées en France....

Fred.

marioss

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Re : arithmétique

génial . oui c'est vrais mais je connais  la formule du binôme

totomm

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Re : arithmétique

bonsoir,

Un preuve valable sans utiliser la formule du binôme ?

on peut écrire [tex]x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-1}+...+1)[/tex]
le premier facteur est divisible par p (hypothèse).
le deuxième facteur comprend p termes tous égaux à 1[p] donc leur somme est divisible par p

marioss

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Re : arithmétique

merci beaucoup totomm .