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brahim

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Etude de fonction

salut

Aidez  moi s'il vous plais à résoudre les deux dérnières  questions de cet exercice :
Soit la foction F(n )  ,n∈N tel que :
(∀x∈R^+) Fn(x)=∫e^t/(1+e^(-nt) )dt   (l'inegral de 0 à x)
Montrer que (∀t∈R^+)e^t/(1+e^(-nt) )≥1/2 e^t

En déduire      lim┬(x→+∞)⁡〖F_n (x)〗 
Montrer que F_nest bijective deR^+ vers R^+
En déduire   ∶ (∀n∈N) (∃!u_n∈R^+) tel que
∫e^t/(1+e^(-nt) )=1 (l'inegral de 0 à u_n)
Puis calculer u_0

Etudier la monotonnie de(u_n )_(n∈N)  ,
déduire  qu' elle est convergente 
Montrer que (∀n∈N) e^(u_n ) _ 2=∫e^((1-n))/(1+e^(-nt) )dt (l'inegral de 0 à u_n)
En déduire (∀n∈N) 0≤e^(u_n )_ 2≤1/n e^(u_n )
Puis calculer la lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗
En utilisant l'intégration par parties montre que : (∀n∈N) 
n(e^(u_n )_ 2)=(ln2)-e^(u_n )ln(1+e^(-nu_n )) +∫〖e^t  ln(1+e^(-nt) )dt⁡  (l'inegral de 0 à u_n)
montrer que(∀u∈R^+) ,ln(1+u) ≤u
puis prouver :lim┬(n→+∞)⁡〖n(e^(u_n )- 2)〗=ln2
montrer que lim┬(n→+∞) n(u_n-ln2)=1/2 ln2

merci

freddy

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Re : Etude de fonction

Re,

si tu n'écris pas avec Latex, c'est illisible à cette heure.

freddy

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Re : Etude de fonction

Salut !

Soit la fonction [tex]F_n,\;n \in \mathbb{N}[/tex] telle que :

[tex]\forall x\in R_+,\; F_n(x)=\int_0^x \frac{e^t}{(1+e^{-nt})}dt [/tex]

Montrer que  [tex]\forall  t \in R_+,\; \frac{e^t}{(1+e^{-nt}) } \ge \frac12 e^t [/tex]

une étude rapide de la fonction [tex]1+e^{-nt}[/tex] montre qu'il s'agit d'une fonction positive décroissante de 2 à 1 quand t parcourt [tex]\mathbb{R}_+[/tex] . On en déduit donc la proposition du texte

En déduire la  [tex]\lim_{x \to +\infty⁡} F_n (x)  [/tex]

elle est donc égale à + l'infini !

Montrer que [tex]F_n[/tex] est bijective de [tex]\mathbb{R}_+[/tex] vers [tex]\mathbb{R}_+[/tex]

la dérivée de la fonction définie par une intégrale est la fonction à intégrer. Cette dernière est strictement positive et on vérifie que [tex]F_n(0)=0[/tex]. Elle est donc bien bijective de [tex]\mathbb{R}_+[/tex] vers lui même

En déduire : [tex]\forall n\in \mathbb{N},\; \exists\; !\; u_n \in \mathbb{R}_+[/tex] tel que :

[tex]\int_0^{u_n} \frac{e^t}{(1+e^{-nt})} dt=1[/tex]

En particulier, pour chaque valeur de n, il existe bien un unique antécédent à 1, égal à [tex]u_n[/tex] par définition

puis calculer [tex]u_0[/tex].

Le calcul montre que [tex]\frac12 (e^{u_0}-1) = 1[/tex]  donc  [tex]u_0 =\ln3[/tex]

Etudier la monotonie de [tex](u_n )[/tex] pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] et déduire qu'elle est convergente.

Montrer que  [tex]\forall n \in \mathbb{N},\; e^{u_n} - 2=\int_0^{u_n} \frac{e^{t-n}}{1+e^{-nt}} dt[/tex] ????? illisible et incompréhensible. Si quelqu'un a une idée

En déduire [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*,\; 0 \le e^{u_n }- 2 \le \frac{1}{n} e^{u_n}[/tex]

puis calculer la [tex]\lim_{n \to +\infty}⁡ u_n[/tex]

En utilisant l'intégration par parties, montrer que : [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]n(e^{u_n } - 2)=\ln2-e^{u_n } \ln(1+e^{-nu_n }) +\int_0^{u_n}e^t  \ln(1+e^{-nt}) dt⁡[/tex]

montrer que  [tex]\forall u \in \mathbb{R}_+,\; \ln(1+u) \le u[/tex]

puis prouver : [tex]\lim_{n \to +\infty} n(e^{u_n}- 2)=\ln2[/tex]

montrer que [tex]\lim_{n \to +\infty} n(u_n-\ln2)=\frac12 \ln2[/tex]

PS : sous toute réserve, c'est assez illisible. C'est un très joli sujet de terminale C, assez proche de ce qui se faisait dans le début des années 80. Un peu de technique, de la logique et du raisonnement, c'est intéressant.

Dernière modification par freddy (09-03-2014 19:35:30)

freddy

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Re : Etude de fonction

Hello guy,

si tu ne donnes pas la bonne question là où j'ai écrit en rouge que je ne comprenais pas, il est possible qu'on ne donne pas suite à ce beau sujet d'un niveau supérieur au TS spé math de nos jours en France.

A toi de voir !

freddy

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Re : Etude de fonction

Hi,

je continue ...

Étudier la monotonie de [tex](u_n )[/tex] pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] et déduire qu'elle est convergente.

On a pour n entier et t réel positif l'inégalité [tex]1+e^{-(n+1)t} \le 1+e^{-nt}[/tex] et donc [tex]F_{n+1}(x) \ge F_n(x)[/tex].
Par conséquent, on déduit que [tex]u_{n+1} \le u_n [/tex] par définition de la suite [tex](u_n)[/tex]. C'est donc une suite réelle positive et décroissante, donc convergente.

Montrer que  ??? [tex]\forall n \in \mathbb{N},\; e^{u_n} - 2=\int_0^{u_n} \frac{e^{t-n}}{1+e^{-nt}} dt[/tex] ????? illisible et incompréhensible. Si quelqu'un a une idée

En déduire [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*,\; 0 \le e^{u_n }- 2 \le \frac{1}{n} e^{u_n}[/tex]
puis calculer la [tex]\lim_{n \to +\infty}⁡ u_n[/tex]

On fait comme si on avait répondu aux deux questions précédentes et on pose [tex] l=\lim_{n \to +\infty} u_n [/tex] puisqu'on sait qu'elle existe. On a alors la relation [tex] 0 \le e^l-2 \le 0 [/tex] puisque [tex] \lim _{n \to +\infty} \frac{e^{u_n}}{n}=0.[/tex] Donc [tex]l= \ln2 [/tex]

(...)

freddy

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Re : Etude de fonction

Re,

je pense avoir trouvé la question.

Montrer que [tex]\forall n \in \mathbb{N},\; e^{u_n} - 2=\int_0^{u_n} \frac{e^{(1-n)t}}{1+e^{-nt}} dt[/tex]

Il n'est pas interdit de s'inspirer de la question pour poser :

[tex] \int_0^{u_n}e^t dt-\int_0^{u_n}\frac{e^t}{1+e^{-nt}}dt=e^{u_n}-1-1 = \int_0^{u_n}\frac{e^{t-nt}}{1+e^{-nt}}dt[/tex]

(...)

Dernière modification par freddy (12-03-2014 21:51:22)