complexes

marioss · 17-02-2014 20:45:41

salut,
s'il vous plait , aidez-moi à cette question :

déterminez l'ensemble des points M(z) qui vérifie :

[tex]z+\bar z = |z|[/tex]

ymagnyma · 17-02-2014 21:02:29

Yo, si tu écrivais [tex]z[/tex] sous forme algébrique, comment s'écrirait [tex]\bar z[/tex] et que vaudrait [tex]\left |{z} \right|[/tex] ?

Dernière modification par ymagnyma (17-02-2014 21:33:40)

yoshi · 17-02-2014 21:09:47

Salut marioss,

Et félicitations pour avoir employé Latex !

aidez-moi à cette question :

D'accord, ?

1. Classiquement (parce que là, ça coule vraiment de source !) tu poses [tex]z = x+iy[/tex]
2. Comment s'écrit alors [tex]\bar z[/tex] ? Réponse ? .....
3. Que vaut [tex]|z|[/tex] ? Réponse ? ....
4. Dans l'équation [tex]z+\bar z = |z|[/tex], tu remplaces :
* [tex]z[/tex] par [tex]x+iy[/tex]
* [tex]\bar z[/tex] par ?.... (ce que tu as trouvé au point 2)
* [tex]|z|[/tex] par ce que tu as écrit au point 3
5. Tu simplifies le 1er membre et là tu te dis :
Bon sang ! C'est vrai ! J'aurais dû y penser !
Ma leçon dit pourtant [tex]z+\bar z = 2\mathcal{Re}(z)[/tex]
6. Tu passes tout dans le même membre et tu trouves l'équation développée d'un cercle : tu en extrait les coordonnées du centre et le rayon.

@+

[EDIT] Damned ! Grilled by Ymagnyma... Chuis trop bavard !

Dernière modification par yoshi (17-02-2014 22:52:02)

ymagnyma · 17-02-2014 21:32:16

Bonsoir Yoshi. Et oui, "trop bavard" et moi très succin. Pourtant, à force ne pas utiliser lateX, j'avais oublié comment faire les valeurs absolues et j'ai mis au moins trois minutes à retrouver l'info. Mais bon, je n'avais tapé qu'une demie-ligne ...
... et oublié des lettres : je n'avais même pas écrit correctement "comment" ! Alors, forcément !

Mais, mais, en te relisant, je vois que tu as également oublié le \bar au point 4 deuxième "*"

Dernière modification par ymagnyma (17-02-2014 21:34:57)

marioss · 17-02-2014 22:50:26

merci

mais je finis par : -3 x²+y²=0 quoi faire ?

yoshi · 17-02-2014 22:57:17

Bonsoir,

Rien, tu ne peux rien en faire, ça c'est clairement faux !
Regarde ton cours, ton [tex]\bar z[/tex] est faux.
Tu as déduit que [tex]z +\bar z=2x^2[/tex], c'est faux...
Recommence !

@+

marioss · 17-02-2014 23:05:02

[tex]\bar z=x-iy[/tex]

ymagnyma · 17-02-2014 23:45:11

Oui, et donc, d'une part [tex]z + \bar z = (x+i y) + (x - i y) = ?[/tex]
d'autre part, [tex]\left | z \right| = ?[/tex].

Puis 6. du post #3

Dernière modification par ymagnyma (17-02-2014 23:46:33)

marioss · 18-02-2014 07:15:52

[tex]\sqrt{x^2+y^2}-2x=0[/tex]

après ???

yoshi · 18-02-2014 08:37:20

Bonjour,

Je te présente mes excuses : j'ai oublié la racine carrée dans les calculs. :-(
Répondre le soir ne me vaut décidément rien....

Je reprends.
[tex]-3x^2+y^2=0[/tex] c'est juste.
Je factorise : [tex](y-x\sqrt 3)(y+x\sqrt 3)=0[/tex]
J'obtiens deux droites d' équations :
[tex]y=x\sqrt 3[/tex]
[tex]y=-x\sqrt 3[/tex]
passant par l'origine.

Vérification avec [tex]z =1+i\sqrt 3[/tex] :
[tex]z+\bar z = 2[/tex]
[tex]|z|=\sqrt{1+3}=2[/tex]

Soit a un réel quelconque :
[tex]z=a+a\sqrt 3[/tex]
[tex]z+\bar z = 2a[/tex]
[tex]|z|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a[/tex]

@+

marioss · 18-02-2014 09:38:37

génial!!

merci yoshi

marioss · 18-02-2014 09:42:26

s'il vous plait je vous demande s'il y a une autre méthode tellement géométrique par exemple représenter z et son conjuguée dans le plan complexe ... etc

merci

yoshi · 18-02-2014 11:00:34

Salut,

Si j'ai bien compris, tu voudrais savoir s'il existe une solution géométrique et non analytique au problème ?
Arf...
Je vais te proposer quelque chose, même si ça ne me plaît qu'à moitié...

En noir, un complexe quelconque et son conjugué, de norme r, le cercle de rayon r, et [tex]z+\bar z[/tex].
On cherche z tel que [tex]z+\bar z[/tex] est sur le cercle et l'axe des réels, autrement dit tel que [tex]x =\frac r 2[/tex]
On a [tex]z =r (\cos\alpha+i\sin\alpha)[/tex]
Je cherche donc (en rouge) z tel que [tex]\cos\alpha=\frac 1 2[/tex]
ce qui entraîne [tex]\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt 3}{2}[/tex].
Il faudrait soigner un peu plus le raisonnement.

Et on en déduit les 2 équations données avant.

Ça te va quand même ?

ymagnyma · 18-02-2014 13:11:51

Bravo ! Une remarque qui maintenant me saute aux yeux via [tex]2x=\sqrt {x^2+y^2}[/tex] mais qui ne m'est apparue que via [tex]x=\frac{r}{2}[/tex] et surtout [tex]\cos ( \alpha ) = \frac{1}{2}[/tex] ...
C'est que [tex]x \geq 0[/tex] ! En fait, il n'y a que les demi-droites d'origine [tex]O(0,0)[/tex] et dans le demi-plan [tex]x \geq 0[/tex] qui conviennent !

Dernière modification par ymagnyma (18-02-2014 13:17:21)

yoshi · 18-02-2014 13:26:05

RE,

Effectivement !
Bravo à toi aussi.
J'avais un peu trop "improvisé" !
'reusement, le copilote veillait...

@+

marioss · 18-02-2014 13:49:08

expliquez-moi je vous en prie !!

marioss · 18-02-2014 14:03:11

merci beaucoup j'ai compris

encore merci

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