Forum de mathématiques - Bibm@th.net

brahim

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continuité

s'il vous plais aidez moi à résoudre ce problème :
f  est une fonction définie sur [0,1]
avec f(1)<0<f(0)
Ǝsϵ[0,1] f(s)≥0  et  quelque soit xϵ[0,1] f(x)≥0 =>x≤s
on suppose qu'il existe une fonction g continue sur [0,1] tel que f+g est croissante
démontrer que: Ǝcϵ[0,1] f(c)=0

merci .

Roro

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Re : continuité

Bonsoir,

C'est niveau collège-lycée ???
Bon, je dirais que f(s)=0, donc c=s convient (après il faut le prouver si c'est vrai...).

Qu'as-tu essayé ?

Roro.

Fred

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Re : continuité

Salut,

  Pas très facile comme exercice (et sûrement pas au programme des lycées en France!).

On va prouver, avec tes notations, que [tex]f(s)=0[/tex]. Supposons par l'absurde que [tex]f(s)>0[/tex].
0n sait aussi que [tex]f(x)<0[/tex] pour [tex]x>s[/tex].

Mais [tex]f+g[/tex] est croissante. Donc [tex]f(x)+g(x)\geq f(s)+g(s)[/tex] pour [tex]x>s[/tex].

Par continuité de [tex]g[/tex] en [tex]s[/tex], on peut trouver [tex]x>s[/tex] tel que
[tex]g(x)\leq g(s)+f(s)/2[/tex] (rappelons qu'on a supposé [tex]f(s)>0[/tex]). Mais alors, pour ce réel,
[tex]f(s)+g(s)\leq f(x)+g(s)+f(s/2)\implies f(x)\geq f(s)/2>0[/tex] ce qui est impossible puisque [tex]x>s[/tex].

L'hypothèse qu'on a faite est donc fausse, et [tex]f(s)=0[/tex].

Fred.

[edit : Grillé par Roro qui pense la même chose que moi!]

brahim

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Re : continuité

c'est le niveau lycée, bac math , j'ai essayé d'utiliser le théoreme des valeurs intermédiaires, mais ça donne rien; merci

Dernière modification par brahim (27-10-2013 08:28:12)

brahim

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Re : continuité

merci beaucoup ,
mais , pourquoi g(x)≤g(s)+f(s)/2  ?

amatheur

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Re : continuité

salut
utilise la définition de la continuité de g en s en prenant [tex]\epsilon=f(s)/2[/tex]

brahim

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Re : continuité

merci beaucoup, c'est clair maintenant