limite

apoi · 10-10-2013 12:45:35

salut,

s'il vous plait aidez-moi à la résolution de cette limite et merci d'avance ,j'ai beaucoup essayer avec elle mais sans résultat.voilà:

[tex]\lim_{x\to0}\frac{x-sinx}{tanx-x}[/tex]

Fred · 10-10-2013 13:50:14

Quels outils connais-tu pour déterminer des limites????
Connais-tu les développements limités????

F.

apoi · 10-10-2013 13:59:22

non c'est quoi les développements limités ?

Fred · 10-10-2013 15:01:54

On ne peut pas les utiliser si tu ne les connais pas.

Quels outils connais-tu pour calculer des limites?
Est-ce qu'il n'y a aucune indication à ton exercice???

apoi · 10-10-2013 18:07:17

je pense qu'il faut utiliser la dérivée pour calculer cette limite (le moyen de variation)

freddy · 10-10-2013 22:43:09

Salut,

si je comprends bien, il t'est demandé d'utiliser la règle de l'Hôpital (si tu la connais, si tu l'as apprise). Si mon intuition est bonne, il faut l'appliquer à deux reprises.

On ne sait toujours pas dans quel cycle d'études tu es.

apoi · 11-10-2013 07:44:44

salut freddy,

je suis en terminale .

freddy · 11-10-2013 10:55:39

Salut,

OK. Bon, eh bien, il faut maintenant que tu nous dises les outils, règles ou astuces que tu as vus en cours ou sur le manuel sur les formes indéterminées , car nous sommes nombreux sur le site à pouvoir te dire combien vaut cette limite, mais pas avec les outils et les connaissances que les terminales spé maths sont censés maîtrisées. Peut être que yoshi en sait plus que nous, mais là, on "sèche".

Fais une effort, sinon, c'est cuit !

apoi · 11-10-2013 19:27:12

info: cette limite est tiré du cour de la dérivée .

yoshi · 11-10-2013 20:18:48

Salut,

Pas mieux...
En France Métropolitaine et Outremer, la règle de l'Hospital est plus ou moins abandonnée au profit des Développements limités.
Ailleurs, je ne sais pas.
Puisque c'est lié au cours sur la dérivée, alors je pense que c'est ça...
Voir là :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … pital.html
http://gilles.dubois10.free.fr/analyse_ … pital.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle … C3%B4pital

Mentionnée notamment ici post #8
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3862

@+

apoi · 11-10-2013 22:33:53

mais si on fait la dérivé du numérateur et la dérivé du dénominateur on va avoir : 0/0 quoi faire ?

freddy · 11-10-2013 22:42:00

apoi a écrit :

mais si on fait la dérivé du numérateur et la dérivé du dénominateur on va avoir : 0/0 quoi faire ?

Refaire encore une fois !

totomm · 12-10-2013 09:31:35

Bonjour,

On peut utiliser la première généralisation des règles de l'hôpital
puisque la dérivée du dénominateur ne s'annule pas pour x dans l'intervalle ]0,b[
Alors [tex]\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex] est bien défini…

Fred devrait pouvoir confirmer.

Utiliser une seconde fois la première règle de l'hôpital laisse le même problème.

freddy · 12-10-2013 11:08:32

Salut,

sauf erreur, tu dis des bêtises, l'ami !

freddy · 12-10-2013 11:12:48

(...)

preuve : la dérivée seconde de [tex]x-\sin x[/tex] est [tex]\sin x[/tex] et la dérivée seconde de [tex]\tan x-x[/tex] est [tex]2\tan x(1+\tan^2x)[/tex]

donc la limite quand x tend vers 0 du quotient existe bien, sauf erreur, bien entendu ;-)

Dernière modification par freddy (14-10-2013 13:05:33)

totomm · 12-10-2013 12:04:41

Re,

Quelle preuve ?
Le rapport des dérivées secondes est [tex]\frac{ sin(x)}{ 2tg(x)(1+tg^2(x) )}[/tex]
N'est-ce pas toujours une limite indéterminée [tex]\frac{ 0}{ 0 }[/tex] quand x tend vers 0 !?

et utiliser la première généralisation des règles de l'hôpital ne me semble pas une bêtise...

amatheur · 12-10-2013 12:17:26

salaut
@totomm: remarque que sin(x)/tan(x)=cos(x) ^^

totomm · 12-10-2013 12:53:25

Bonjour,

@amatheur : Merci pour cette information gigantesque ! Mais on est en train de simplifier avec précaution quand x=0 !
comment traitez-vous : [tex]\lim_{x\to0}\frac{x-sinx}{tanx-x}[/tex] ?

yoshi · 12-10-2013 13:17:25

Bonjour,

[tex]\frac{\sin(x)}{2\tan(x)(1+\tan^2(x))}= \frac{\sin(x)}{\frac{2\sin(x)}{cos(x)}\times\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac{\sin(x)\cos^3(x)}{2\sin(x)}=\frac{\cos^3(x)}{2}[/tex]

D'où [tex]\lim_{x \to 0}\;\frac{\sin(x)}{2\tan(x)(1+\tan^2(x))}=\frac 1 2[/tex]

@+

apoi · 12-10-2013 13:23:08

merci beaucoup pour votre aide . mes profs et mes amis du site ...

cordialement !!

amatheur · 12-10-2013 13:27:36

re
tu peux simplifier sans problème puisque la fonction elle même n'est pas définie en x=0 , la précaution qu'il faut prendre est juste de s'assurer que la fonction ne s'annule pas au voisinage de zéro. ce qui est le cas.
en plus ce n'est pas une simplification, c'est une égalité valable partout au voisinage de zéro...
@+

Dernière modification par amatheur (12-10-2013 13:30:43)

apoi · 12-10-2013 13:36:46

s'il vous plait j'ai une question qui casse la tête ; si on a : [tex]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)[/tex] on peut déduire [tex]f''(a)[/tex].

merci d'avance .

Dernière modification par apoi (12-10-2013 13:40:40)

totomm · 12-10-2013 14:07:44

Re,

Je faisais simplement remarquer qu'on n'avait pas besoin d'appliquer 2 fois les règles de l'hôpital. Une première fois :
[tex]\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{1-cos(x)}{\frac{1}{cos^2(x)}-1}=\frac{cos^2(x)\times(1-cos(x))}{1-cos^2(x)}=\frac{cos^2(x)}{1+cos(x)}[/tex] dont la limite est [tex]\frac{1}{2}[/tex] quand x tend vers 0

@ apoi : On dérive f' pour obtenir f" comme on dérive f pour obtenir f'

Dernière modification par totomm (12-10-2013 14:32:13)

freddy · 13-10-2013 09:54:04

Re,

peu importe, notre ami ne peut utiliser aucune des méthodes proposées, puisque hors programme.

La question reste entière : comment déterminer cette limite avec les moyens du bord ? Et comme c'est dans le cadre d'un cours sur les dérivées, je cherche encore la bonne manip' ...

amatheur · 13-10-2013 10:31:15

salut
je crois qu'a ce niveau, et dans ce genre de cas, on propose aux élèves de démontrer un encadrement qui servira a retrouver la limite.
@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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