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Justine

Invité

Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Bonsoir!
Etudiante en 3ème année d'économie-gestion, je suis actuellement en train de refaire le sujet d'un examen de Théorie des contrats déjà tombé dans le but de me préparer à la prochaine session, et comme il n'y a pas de correction disponible, je viens demander un petit coup de pouce pour deux questions ! Les voici ci dessous, je suis désolée pour la qualité de la photo!

                   Joueur B
            Left           Right
Up      10;-10        -10;-20        Joueur A
Down  20;3           -2;100

Q1 : "Considérons le jeu sous forme normale ci dessus? Quel est (sont) l'équilibres(s) de Nash de ce jeu en actions pures ? Les premiers numéros dans le tableau des gains sont les gains pour le joueur A et les seconds numéros sont ceux du joueur B. Choisissez parmis les options proposées:
(a)(Up;Left)  (b)(Up;Right) 
(c)(Down;Left)  (d) (Down, Right)
(e) A la fois (a) et (d)  (f) A la fois (b) et (c)"
- Je sais que l'on qualifie l'équilibre de Nash comme un point stable où aucun des agents n'auraient intérêt à changer de stratégie.
Cependant, pour la première question, je ne vois aucune stratégie dominante. Un peu hasard au je dirais (c), car il s'agit du meilleur paiement pour JA, et du second meilleur pour JB. Or JB aurait ici intérêt à changer de stratégie pour préferer -2;100 par exemple.

Q2 : "Considérons maintenant que le joueur A dans le jeu ci dessus décide d'abord de choisir Up ou Down. Et le joueur B, après avoir observé la décision prise par le joueur A, va décider de choisir Left ou Right. Les gains de chacun des résultats sont les mêmes que ceux indiquées dans la matrice des gains ci dessus. Quels seront les gains pour les deux joueurs de ce sous-jeu dans l'équilibre de Nash parfait de ce jeu?
(a)(Up;Left)  (b)(Up;Right) 
(c)(Down;Left)  (d) (Down, Right)
(e) A la fois (a) et (d)  (f) A la fois (b) et (c)"
- Pour la seconde question, j'ai pensé à la réponse (a), car si JA joue Up, l'idéal pour JA et JB serait que JB joue Left. Ils seraient donc ici d'accord, ce qui n'est pas la cas si JA joue Down. C'est le seul équilibre potentiellement "intéressant" que je vois ici.

J'espère que vous pourrez m'éclairer un peu!
Merci,
Justine

freddy

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Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Salut,

je crois que tu ne connais pas bien la définition d'un équilibre de Nash.

En l'espèce, regarde la meilleure réponse de A si B joue Left. Tu t'aperçois que c'est Down. Le gain de A = 20

Ensuite, suppose que B joue Right. Et là, tu vois que Down est encore la bonne réponse pour A. Le gain de A = -2

Maintenant, suppose que A joue Up. La meilleure réponse de B est Left. Le  gain est de B = - 10. Si A joue Down, la meilleur réponse de B est Right. Son gain est = 100.

Donc l'équilibre de Nash est le couple de stratégies pures (Down, Right) et le gain est le couple (-2, 100). Cet équilibre est stable. Les deux joueurs jouent en même temps. Je ne détecte pas d'équilibre en stratégies mixtes.

Maintenant, si B joue après A, alors les deux sous équilibres sont soit (Up, Left), soit (Down, Right). Mais il est essentiel de bien comprendre que le jeu est la réponse de B après avoir vu la stratégie de A.

Tu vois mieux ?

Justine

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Bonsoir,
Tout d'abord merci pour ta réponse. Effectivement, c'était un peu confus pour moi.
J'ai très bien saisie ta réponse à la première question. La seconde me parait moins instinctive, dans le sens que je n'aurais pas considéré uniquement les réponses de B, j'aurais plutôt tenté de trouvé une combinaison satisfaisant mieux les deux joueurs. Je n'avais pas bien assimilé cette notion de non-simultanéité et de sous-jeu! Ca va mieux maintenant. C'était tout bête en faite! Je me suis embrouillée toute seule je pense.
Je te remercie beaucoup pour ton aide!

freddy

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Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Re,

Un équilibre de Nash dans un jeu à 2 est un couple de stratégie (a*, b*) telle que a* est la meilleure réponse de A à toute stratégie de B et b* est la meilleure réponse à toute stratégie de A.

Tu es la bienvenue !

biw

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Tu dois savoir déjà que tout jeu fini admet un equilibre de Nash en stratégie mixte ( ie chaque joueur joue ses actions avec une certaine probabilité ) . Un equilibre de Nash est un profil d'actions des joueurs ici 1 et 2 ou il n'y a pas de déviations profitables , une petite astuce pour repérer à vue d'oeil les equilibres de Nash dans une matrice comme la tienne :
tu regardes un paiement (ie une case ) par exemple (10,-10) et tu appliques la définition : tu regardes s'il y'a des déviations profitables pour chacun des joueurs le joueur 1 peut dévier en ligne et le joueur 2 en colonne , je regarde donc pour le joueur 1 son paiement pour cette case est de 10 s'il opte pour la stratégie down son paiement sera de 20 donc il vaut mieux pour lui de jouer down ainsi (10, -10) ne peut pas être un equilibre de Nash car il existe une déviation profitable pour le joueur 1 .
En raisonnant de même pour chacune des cases tu te rendras compte que ( down , right ) est un equilibre de Nash car pour le joueur 1 -2>-10 et pour le joueur 2 on a 100>3 .

biw

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Pour la seconde partie de ta question comme les joueurs jouent cette fois ci de façon successive je te conseille de faire un arbre tu verras mieux le déroulement du jeu , tu ne peux pas juste répondre à la question en regardant la matrice enfin si c'est possible mais plus compliqué alors qu'en soi la question est plutôt simple .
Apres avoir fait ton arbre il te suffit te faire un raisonnement par induction pour trouver l'équilibre en sous jeux parfait , c'est à dire que tupars du plus bas de l'arbre et a chaque fois tu choisis le chemin qui donne le plus grand paiement au joueur qui contrôle le noeud en question .
Ici quand tu auras fait ton arbre tu te rendras compte que si le joueur 1 joue up il est préférable pour le joueur 2 de jouer left , si le joueur 1 joue down il est préférable pour le joueur 2 de jouer right . On remonte alors au noeud du joueur 1 , il a le choix entre jouer up ( et le joueur  2 jouera left d'apres mon raisonnement precedent ) donc son  gain sera de 10 ou bien jouer down ( et le joueur 2 jouera right) donc gain -2 . Il jouera bien sur up . Ainsi ( up, left ) est le nash en sous jeu parfait .

Justine

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Merci merci à vous deux! J'avais vu tout ça d'une manière assez appronfondie l'an dernier mais il faut croire que je n'en ai gardé que de très légers souvenirs aha.. D'ailleurs, si vous ne l'avez pas déjà vu, je vous conseille le film "Un homme d'exception", il est particulièrement intéressant!
Sinon mon examen était aujourd'hui, et pour être honnête je suis plutôt contente! Au sujet de Nash, ces deux mêmes questions sont re-tombées, donc c'est super, encore merci!

freddy

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Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Re,

dis nous tes notes, ça fera plaisir !

Justine

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Hello,

Promis dès que j'aurai mes résultats je vous laisserai un petit mot ici pour vous en informer!

jeremy alex

Invité

Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

bonjour

je suis en 3ème année de graduat en économie.  je ferai mon examen de théories de jeux ce week-end. j'ai essayé de chercher la résolution de mon exercice que je dois défendre mais je ne l'ai pas trouvé. veuillez m'aider s'il vous plait, en me donnant quelques éclaircissements et surtout la réponse de cette question

Deux joueurs A et B jouent au jeu suivant. Ils doivent tout d'abord verser chacun 1 dirham. Ensuite le joueur A récupère la mise de 2 dirhams ainsi constituée et chaque joueur a deux stratégies possibles : pour le joueur A, il peut ou non décider de jeter les 2 dirhams dans un puit (ils seront alors perdus) ou de les conserver (ils seront alors redistribués, 1 dirham chacun, entre les deux joueurs). Le joueur B doit faire une prédiction sur ce que va faire le joueur A. Si la prédiction se confirme, le joueur A doit donner (indépendemment de la mise précédente) 2 dirhams au joueur B, dans le cas contraire c'est le joueur B qui doit donner 2 dirhams au joueur A.
1. Écrire la matrice de paiement des deux joueurs
2. Décrire, lorsqu'ils existent, les équilibres de Nash et les optima de Pareto.
3. Rappeler la définition d'une stratégie dominante, prudente (peu importe si c'est au sens strict ou au sens large) et décrire, pour chacun des joueurs, celles qui existent.
4. Que va-t-il se passer si A joue en premier ? si B joue en premier ? Y-a-t-il lutte pour le premier ou le second coup ?
5. Pour le jeu répété à horizon infini (sans actualisation), quelles paiements moyens (a, b) des deux joueurs correspondent à des optima de Pareto ?
6. Montrer que pour le jeu répété à horizon fini il n'existe pas d'équilibre de Nash.
7. On suppose maintenant que la matrice de paiement vaut :
(−3,−1) (1,−3)
(2, 0) (−2, 2)
(modifée en deux valeurs par rapport à la précédente !). Montrer que le jeu à un coup présente les mêmes caractéristiques, mais que, pour le jeu répété (à horizon inni), il existe un équilibre de Nash pour lequel le joueur A reçoit un paiement constant égal à 2 (décrire les stratégies
associées).

freddy

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Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Salut,

la matrice de paiement est égale à :
                    Prévu    Non Prévu
Puits            (-3, +1)   (+1, -3)
Non Puits    (-2, +2)   (+2, -2)

C'est un jeu assez particulier ... Pour bien faire, faudrait que tu postes ton sujet sous un titre autonome, pas sur celui que tu squattes.
Je te laisse faire, puis tu détruits ce post, et j'en ferais autant.

Dernière modification par freddy (06-10-2014 08:23:26)

freddy

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Re : Théorie des jeux - Equilibre de Nash

Re,

tu as disparu mais le problème est intéressant.
Il y a un équilibre de Nash pour une seule partie donné par le couple (non puits, prévu). Il est auto réalisateur si je puis dire.
Il y a 4 optima de Pareto, les 2x2 stratégies possibles. je rappelle qu'un équilibre est parétien si nul ne peut améliorer sa situation sans dégrader celle d'un autre.
A n'a pas de stratégie dominante, B en a une qui est de prévoir correctement la stratégie de A, ce qui n'est pas très surprenant ;-)
(...)

Dernière modification par freddy (11-10-2014 21:58:17)