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lieutenantaka

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critere d'eisenstein

Bonsoir!
J'ai vu une démonstration du critère d’Eisenstein où on utilise le fait que si p est premier Z/pZ est un corps factoriel et dans un corps factoriel la décomposition en élément irréductible est unique. J'aimerais savoir pourquoi est ce que la décomposition en élément irréductible est unique et aussi pourquoi Z/pZ est un corps factoriel.
Et si quelqu'un a une autre démonstration de ce critère sans passer par ce fait.
Merci d'avance!

Jyjy

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Re : critere d'eisenstein

Bonjour ,
alors :

Pour p premier , Z/pZ est principal . Et principal implique factoriel .

Pour la décomposition en élément irréductible , l'unicité est du au fait que tu prends tes éléments irréductibles dans un domaine fondamental pour la relation d'association restreintes aux irréductibles.

En espérant t'avoir aider .

Dernière modification par Jyjy (29-05-2013 09:45:14)

Groupoid Kid

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Re : critere d'eisenstein

Salut tous les deux,

"Corps factoriel" est quasiment une antinomie. La notion de factoriel est en général réservée aux anneaux qui ne sont pas des corps, car l'intérêt d'un anneau factoriel est l'utilisation de ses éléments irréductibles, or un corps ne contient aucun élément irréductible. Pourquoi ? Parce que par définition, pour être irréductible il ne faut être ni nul, ni inversible, or dans un corps tout le monde est soit nul, soit inversible.
De fait, un corps est donc bien un anneau factoriel, mais de façon vide : comme il ne contient pas d'élément non nul et non unité, il est impossible de nier le fait que "Tout élément non nul et non unité admet blablabla". [Remarque analogue pour la notion d'anneau principal.]

Je pense que le seul anneau factoriel qui t'intéresse ici, lieutenantaka, est [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Sa factorialité est nécessaire pour pouvoir définir l'application contenu des polynômes [tex](\mathbb{Z}[X],\cdot)\to (\mathbb{Z},\cdot)[/tex] (morphisme de monoïdes), qui est utilisée pour un corollaire classique du critère d'Eisenstein (mais inutile pour le critère dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]). En as-tu entendu parler ?

Alors dans l'ordre :
1) Pourquoi la décomposition en facteurs irréductibles est unique (à permutation des facteurs et association près) dans un anneau factoriel ? C'est la définition d'anneau factoriel.
2) Comment démontrer Eisenstein sans utiliser les anneaux quotients ? Exactement comme en les utilisants, c'est une simple traduction à faire : il faut remplacer les termes "égale 0 modulo p" par "divisible par p", etc. Veux-tu de l'aide sur cette partie ? Ou bien préfères-tu d'abord des explications sur la démonstration modulo p, que visiblement tu n'as pas bien saisie ?
3) Est-ce la partie corollaire qui te pose problème ? As-tu des soucis avec le lemme de Gauss / l'application contenu ?

À te lire,
GK

EDIT : décidément, chaque fois que je corrige je refais une boulette ^^ Manger devant son clavier c'est maaal

Dernière modification par Groupoid Kid (29-05-2013 11:39:16)

lieutenantaka

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Re : critere d'eisenstein

salut!
Je vous remercie d'avoir contribué!
Groupoid pourriez vous faire cette autre demonstration d'eisenstein?

Groupoid Kid

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Re : critere d'eisenstein

Chouette, une démonstration à la main. Allons-y :)

D'abord mes excuses, on a quasiment besoin du contenu pour la preuve d'Eisenstein. Il faut dire que je n'ai vu la preuve qu'une fois et c'était il y a de nombreuses années... Je vais donc supposer connu le lemme de primitivité de Gauss, prémice de la notion de contenu :  "Si deux polynômes sont primitifs, leur produit l'est aussi." Sa preuve est du même accabit que celle d'Eisenstein.

Soient donc [tex]P=\sum_{k=0}^na_kX^k[/tex] et p premier tels que [tex]p\mid a_k[/tex] pour k<n, [tex]p\nmid a_n[/tex] et [tex]p^2\nmid a_0[/tex]. On suppose qu'on a décomposé P dans [tex]\mathbb{Q}[X][/tex] en P=UV, il s'agit de montrer que U ou V est une constante.

Déjà, on peut supposer que P est primitif, quitte à le diviser par le pgcd des ses coefficients, ce qui ne modifie pas les propriétés des coefficients vis-à-vis de p puisque [tex]p\nmid a_n[/tex]. Ensuite quitte à factoriser par ce qu'il faut on peut écrire [tex]P=\frac{n}{d}U'V'[/tex], où U' et V' sont à coefs entiers et primitifs. Mézalor dP=n(U'V'), avec pgcd(d,n)=1, donc n divise tous les coefs de P et d tous les coefs de U'V'. Mais ce sont des polynômes primitifs ! Donc n=d=1 (+/- 1 en fait, je te laisse combler les détails). Dans la suite, on suppose donc que U=U' et V=V' sont primitifs.
Je note [tex]U=\sum_{k=0}^{+\infty} u_kX^k[/tex] et [tex]V=\sum_{k=0}^{+\infty} v_kX^k[/tex] (sommes presques nulles).

Maintenant j'écris les égalités de coefficients entre le produit UV et P, et je regarde qui est divisible ou non par p.
[tex]a_0=u_0v_0[/tex] : puisque p est premier et ne divise qu'une fois [tex]a_0[/tex], il ne divise qu'un des deux facteurs. Quitte à permuter U et V on va supposer que p divise [tex]u_0[/tex] et pas [tex]v_0[/tex].
[tex]a_1=u_0v_1+u_1v_0[/tex] : puisque p divise [tex]a_1[/tex] et [tex]u_0[/tex] mais pas [tex]v_0[/tex], j'en déduis qu'il divise [tex]u_1[/tex].
[tex]\ldots[/tex]
[tex]a_n=u_0v_n+\ldots+u_nv_0[/tex] : puisque p ne divise pas [tex]a_n[/tex], et qu'il divise tous les termes de la somme sauf peut-être le dernier, j'en déduis qu'il ne divise pas le dernier terme, et donc en particulier que [tex]u_n\neq 0[/tex]. Donc U est de degré n, et V est une constante.

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (30-05-2013 13:27:55)

lieutenantaka

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Re : critere d'eisenstein

Merci GK! C'est cool!