Limite

nabil10 · 28-05-2013 07:43:56

Bonjour tous le monde,

j'ai à calculer la limite suivante [tex] \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\ln\cot x + 2x - \frac{\pi}{2}}{(1-\tan x )^3} [/tex] après un changement de variable [tex] t= x- \frac{\pi}{4} [/tex] pour me ramener à 0 j'ai trouver la limite égale à [tex] -\infty [/tex] après des équivalences en 0

S'il vous plait dite moi si la limite est exacte et si non dite moi la limite de cette fonction. merci

Roro · 28-05-2013 12:55:40

Bonjour nabil10,

Pour vérifier, tu peux au moins tracer la fonction... et voir ce qui se passe au voisinage de [tex]\pi/4[/tex].

Roro.

nabil10 · 28-05-2013 14:21:12

Bonjour Roro

difficile d’étudier cette fonction et j'ai pas une calculatrice me permettant de tracer sa courbe. merci de m'aider

totomm · 28-05-2013 14:58:45

Bonjour,

en utilisant
[tex]Ln(1+tan(t)) = t - \frac{ t^2}{2} + \frac{2t^3}{3}+...[/tex] je trouve une limite voisine de [tex]\frac{1}{6}[/tex] ???

nabil10 · 28-05-2013 15:10:50

Bonjour totomm

pourquoi développement limité de [tex] \ln( 1+tan {t} ) [/tex] alors que dans la fonction on a plutot [tex] \ln ( \cot x) [/tex] ????? j'ai pas compris

amatheur · 28-05-2013 16:13:38

salut
une petite vérification pas très matheuse ^^me dit que tu as raison :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +&dataset=
A+

totomm · 28-05-2013 18:08:40

Bonsoir,

nabil10 a écrit :

...Calculer la limite suivante [tex] \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\ln\cot x + 2x - \frac{\pi}{2}}{(1-\tan x )^3} [/tex]
après un changement de variable [tex] t= x- \frac{\pi}{4} [/tex] ...

nabil10 a écrit :

Bonjour totomm
pourquoi développement limité de [tex] \ln( 1+tan {t} ) [/tex] alors que dans la fonction on a plutot [tex] \ln ( \cot x) [/tex] ????? j'ai pas compris

en développant[tex] tan(t+\frac{\pi}{4})[/tex]
Alors [tex]\ln\cot x =\ln\left(\frac{1}{tan(t+\frac{\pi}{4})}\right)=\ln\left(\frac{1-tan\ t}{1+tan\ t}\right)=\ln(1-tan\ t)-\ln(1+tan\ t)[/tex]

or [tex]tan\ t=t+\frac{t^3}{3}+...\ \ \ \ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-...\ \ \ donc\ \ln(1+tan\ t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{2t^3}{3}+...[/tex]

même principe pour [tex]\ln(1-tan\ t)=-t-\frac{t^2}{2}-\frac{2t^3}{3}-...[/tex] La suite est maintenant facile

yoshi · 28-05-2013 18:30:49

Salut,

Tiens, il me semblait avoir lu un post de GK où il était écrit que la limite était [tex]+\infty[/tex]...
D'où les points d'interrogations de totomm...
Bon, mais alors un p'tit coup de Python donne :

>>> L=[0.78,0.785,0.7853,0.78539,0.785398,0.7853981,0.78539816,0.785398163,0.78539816339, 0.7853981633974]
>>> for x in L:
print x," ", (log(1/tan(x))+2*x-pi/2)/(1-tan(x))**3

0.78 0.169380371228
0.785 0.166865893486
0.7853 0.166716166806
0.78539 0.153062677127
0.785398 6362.30729203
0.7853981 0.0
0.78539816 0.0
0.785398163 442087399632.0
0.78539816339 6.71699930952e+16
0.785398163397 2.45558556092e+23
>>>

Pas de -... Curieux !
[tex]\ln(cot(x)) >0,\;2x-\frac{\pi}{2} <0[/tex] pour [tex]x \to \frac{\pi}{4}[/tex]

La question est : quelle partie l'emporte sur l'autre ?

Creusons...

Un logiciel grapheur me donne environ 1/6...
Voyons Geolabo

@+

[EDIT]GeoLabo semble donner autour de 1/6
Les premières valeurs Pythonesques aussi : ça se gâte à partir du 4e test...
Scilab a le même souci que Python...

Dernière modification par yoshi (28-05-2013 19:49:42)

totomm · 28-05-2013 19:26:49

re,

en utilisant les développements énoncés post #4 et #7 et pour confirmer le logiciel grapheur :

Quand t tend vers 0 :
le numérateur se trouve équivalent à [tex]-\frac{4t^3}{3}[/tex] (ll suffit d'additionner)
le dénominateur qui vaut [tex]\left(1-\frac{1+tan\ t}{1-tan\ t}\right)^3\ est\ équivalent\ à\ -(2t)^3\ \ \ limite=\frac{1}{6}[/tex]

yoshi · 28-05-2013 20:03:44

Bonsoir,

amatheur n'aime pas ^_^ les parenthèses, il a tort, la preuve :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +x+%29^3}+

Voilà, "la boucle est bouclée"...

@+

amatheur · 28-05-2013 20:53:57

Re

yoshi a écrit :

Bonsoir,
amatheur n'aime pas les parenthèses, il a tort, la preuve :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +x+%29^3}+
Voilà, "la boucle est bouclée"...
@+

@yoshi: LA HONTE! amatheur est le plus grand feignant que vous pourrez rencontrer! j'ai bêtement recopié le code latex du poste 1 sans vérifier, que dans l'autre site, ça donne autre chose!! merci pour la réctification. et désolé à Nabil10 pour ce poste raté! j'aurais du la faire à l’ancienne, comme totomm.
ce sont les maths qui n'aiment ni les feignants ni bordéliques!!
A+

Groupoid Kid · 28-05-2013 21:10:40

yoshi a écrit :

Tiens, il me semblait avoir lu un post de GK où il était écrit que la limite était [tex]+\infty[/tex]...
D'où les points d'interrogations de totomm...

En effet, je reconnais :P Mais j'ai supprimé assez vite ma réponse en voyant que je m'étais trompé en recopiant la formule de nabil10 ^^

Je trouve également 1/6 avec la bonne formule :) Et bravo à totomm pour sa méthode, tout simplement magnifique !

GK

yoshi · 28-05-2013 22:07:43

RE,

@amatheur
Bah... que celui qui ne se soit jamais trompé te jette la première limite...
En fait tu ne t'es trompé qu'en faisant confiance à la formule telle qu'écrite par nabil
Et, si tu regardes bien sur ton lien la formule affichée par Wolfram Mathematica il y a un x parasite après cot(x) : ça m'a alerté...
J'ai essayé de corriger ça sans succès, j'étais sûr à 99% que le problème venait de là...

Et d'ailleurs l'absence de parenthèses dans le post 1 m'avait aussi chiffonné.

Alors j'ai reconstruit et testé morceau par morceau la formule, jusqu'à disparition du x parasite et alors.... bingo !
Mais j'ai l'habitude de ces logiciels de calculs ou des logiciels grapheurs : ils sont tous plus ou moins tolérants sur la syntaxe.
Je n'avais jamais essayé encore de fournir du LateX à Wolfram : c'est une expérience intéressante.

Mais, Wolfram lui a une tolérance zéro, c'est bon à savoir !
J'ai aussi essayé le calcul de la limite via WxMaxima : le bide ! Pas de réponse...
Et je ne m'explique toujours pas certains résultats de Python (et Scilab) : ça m'intrigue...
Je reprendrai les calculs demain en Python en imposant une précision de 16 décimales pour voir...

Alors, nan, pas de honte !

C'est une leçon pour nabil : il ne faut pas écrire les formules à la "va-comme-j'te-pousse", c'est dangereux !

@+

amatheur · 29-05-2013 00:34:29

Salut
on pourrait retrouver le résultat sans avoir recours à un DL:
après un changement de variable [tex]t=1-tgx[/tex]
Par la règle de L'Hôpital, la limite sera égale à:
[tex]\lim_{t\to 0}\frac{-\ln \left(1-t\right)+2arctg\left(1-t\right)-\frac{\pi }{2}}{{t}^{3}}[/tex][tex]=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{1}{1-t}-\frac{2}{1+{\left(1-t\right)}^{2}}}{3{t}^{2}}=\frac{1}{6}[/tex]
A+

totomm · 29-05-2013 09:35:04

Bonjour,

@amatheur : Merci pour ce rappel de la règle de l'Hopital, qui donne la limite bien plus simplement
En plus on se rappelle mieux les dérivées que les DL !

Je m'étais mis dans le changement de variable proposé et tan(a+b)...j'ai reconstitué ensuite le DL pour [tex]\ln(1-tan\ t)[/tex] en espérant ne pas me tromper
mais j'avoue avoir hésité à publier [tex]\frac{1}{6}[/tex] après avoir vu un [tex]+\infty[/tex], tellement le niveau d'intervention de GK sur ce forum est impressionnant.
J'ai alors utilisé aussi un tracé de courbe pour me conforter et me décider...

Edit :

@ yoshi : Merci encore une fois, je n'avais jamais pratiqué Wolfram. On n'a plus besoin de se fatiguer si on peut faire tout calculer...

Dernière modification par totomm (29-05-2013 11:02:04)

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