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Lardo

Invité

Intégrale à paramètre

Bonjour,

Je planche sur un exo et je ne vois pas trop quelle méthode employer : il s'agit du Ana 7 du poly suivant

http://www.enpc.fr/sites/default/files/ … emples.pdf

Le soucis, c'est que ce n'est pas vraiment une intégrale à paramètre classique dans le sens ou on intègre sur [0,x]. Pour m'y rapporter, j'introduis une indicatrice la fonction qui prend la valeur 1 sur [0,x] et 0 sinon.
En essayant d'appliquer les hypothèses du théorème, je me rend compte que l'intégrabilité de la nouvelle fonction sous l'intégrande est assez délicate puisqu'on a pas assez d'information sur g. Ce qui me gène a priori, c'est que dans mon cours, quand on considère des intégrales à paramètre, le théorème est valable sur un espace mesuré qui ne dépend pas du paramètre.
Et aussi comme g n'est que continue je ne vois pas comment montrer que :

  [tex] f^{ n }\left( x,t \right)=sin(x-t)g(t)1\left[ 0,x \right] (t) [/tex]

est intégrable...

freddy

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Re : Intégrale à paramètre

Salut,

sauf si je ne sais pas lire, c'est l'enfance de l'art : tu as une fonction définie par une intégrale, cette dernière existe puisque sin et g sont toutes deux continues sur (0,x], avec x réel, et tu n'as qu'à répondre aux questions posées comme si tu étudiais la fonction f(x) modulo quelques petites particularités.

Ne te laisse pas impressionner par l'opérateur "intégrale", il y a des tas de fonctions qui sont définies de cette manière.

Lardo

Invité

Re : Intégrale à paramètre

Le soucis pour le calcul de la dérivé c'est que le paramètre x est à la fois dans le domaine d'intégration et dans l'intégrande. Pa conséquent, le calcul de la dérivé peut se faire soit par écriture du taux de variation, ou par le théorème que j'ai cité plus haut.
(Le n est superflux)

freddy

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Re : Intégrale à paramètre

Re,

pour t'aider à raisonner, tu peux poser [tex]f(x) = h(x)-h(0)[/tex]. Tu sais par construction que f est définie, continue et dérivable sur R. Il te reste simplement à calculer[tex] f'(x[/tex]) par application de la règle de Leibnitz => c'est l'intégrale de la dérivée de [tex]sin(x-t)g(t)[/tex] par rapport à [tex]x[/tex] !!! und so weiter !

Fred

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Re : Intégrale à paramètre

Salut,

  En général, pour dériver des intégrales quand la borne et l'intégrande dépend de la variable d'intégration, on utilise des fonctions de deux variables. Dans ton cas, on peut poser
[tex] g(u,v)=\int_0^u \sin(v-t)g(t)dt [/tex]
Tu sais calculer les dérivées partielles de g, et toi tu as [tex]f(x)=g(x,x)[/tex].
Tu peux calculer la dérivée de g par le théorème de dérivation d'une composée.

F.

Lardo

Invité

Re : Intégrale à paramètre

Ah oui j'avais jamais vu ca de cette manière. C'est assez original, merci