Arithmetique

BAKARY NDIAYE · 21-05-2013 22:21:24

Salut.
j'ai commence a resoudre un exercice d'arithmetique mais j'ai des difficultes comme d'habitude pour aboutir au resultat.

Exercice:

Soit p un nombre premier. Montrer que pour tout entier naturel [tex] 5^{2p}+5^p(5^n-1)-5^{n+1}[/tex][tex]\equiv0[/tex][p]

On a : [tex] 5^{2p}+5^p(5^n-1)-5^{n+1}= 5^{2p}+5^{p+n}-5^p-5^{n+1}
= 5^{n+1}(5^{p-1}-1)+5^p(5^p-1)[/tex]

p est un nombre premier, d'apres le petit theoreme de Fermat, [tex]5^p-5[/tex] est divisible par [tex]p[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5^p\equiv5[p][/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5^{p-1}[/tex][tex]\equiv[/tex]1[p] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5^{n+1}(5^{p-1}-1)\equiv0[p][/tex].
Mon probleme maintenant c'est comment montrer que [tex] 5^p(5^p-1)\equiv0[p][/tex].

Merci.!!!

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (21-05-2013 23:00:32)

freddy · 22-05-2013 07:24:50

Salut,

l'énoncé est faux ou mal recopié (pose p=3 et n=2 par exemple et regarde), donc tu vas avoir du mal à le prouver.

yoshi · 22-05-2013 08:35:29

Bonjour,

Et j'en rajoute une couche :

Mon probleme maintenant c'est comment montrer que [tex]5^p(5^p-1)\equiv 0\;[p][/tex]

Freddy t'a donné un contre exemple de l'énoncé...
Mais ta conclusion n'est pas plus juste !

Soit p = 3
[tex]5^3(5^3-1)=125\times 124 \equiv 2\;[3][/tex]
C'est encore faux pour [tex]p\in \{7,9,11,13,14,15,17,19\cdots\}[/tex]

@+

totomm · 22-05-2013 10:12:15

Bonjour,

et une couche de plus : Le premier terme doit sûrement être [tex]5^{2p-1}[/tex] et non [tex]5^{2p}[/tex]

yoshi · 22-05-2013 11:03:31

Re,

Dédié à Bakary (en particulier) et d'autres encore cet Extrait des Règles de BibM@th :

Comment bien poster
(...)
* Présentation du sujet. Rien n'est plus pénible qu'un sujet incomplet ou réinterprété par celui qui demande de l'aide : avant de cliquer sur le bouton Valider, dans votre intérêt, assurez-vous que votre texte soit une copie conforme de votre énoncé. Faute de quoi, il n'y serait probablement pas répondu et votre discussion fermée avec une une invite à recommencer.

La prochaine fois, j'appliquerai sans états d'âme...

Yoshi
- Modérateur -

freddy · 22-05-2013 19:35:45

totomm a écrit :

Bonjour,
et une couche de plus : Le premier terme doit sûrement être [tex]5^{2p-1}[/tex] et non [tex]5^{2p}[/tex]

Salut,

en effet, cette suggestion est efficace. Par contre, le raisonnement de Bakary est toujours aussi compliqué.

Exemple : on sait que[tex] 5^p-5[/tex] est divisible par p, donc [tex]5^n(5^p-5) \equiv 0[/tex] (modulo p), point barre !

Et avec la remarque de totomn, la suite arrive toute seule et tombe comme un fruit mûr !

BAKARY NDIAYE · 22-05-2013 20:56:29

Salut.
Je viens de verifier l'exercice.Il se trouve que c'est pas moi qui est mal recopie l'enonce, dans le fascicule c'est ca qu'on a mis, j'ai recopier sans sauter.

freddy · 22-05-2013 21:16:27

BAKARY NDIAYE a écrit :

Salut.
Je viens de verifier l'exercice.Il se trouve que c'est pas moi qui est ai mal recopié l'énonce, dans le fascicule c'est ca qu'on a mis, j'ai recopiér sans sauter.

... alors on dira que le fascicule est idiot, il faut qu'il retourne à l'école et qu'il fasse 100 lignes !... :-)))

BAKARY NDIAYE · 22-05-2013 21:29:39

Re, Salut,

donc je vais essayer de remplacer [tex]5^{2p}[/tex] par [tex]5^{2p-1}[/tex]

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