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Niryuba

Invité

Suite, convergence

Salut à tous,

Je coince sur un exo très basique sur les suites ou on me demande d'étudier la convergence de la suite définie par la relation de récurrence :

un+1=un+(2/n+1)*un-1

On montre aisément que notre suite un est croissante ainsi que supérieur ou égal à 1 (par une récurrence immédiate). Ainsi, intuitivement, ma suite va tendre vers l'infini. Cependant la preuve rigoureuse de cette conjecture me pose certaines difficultés...
J'ai pensé à montrer qu'elle ne pouvait être majoré en raisonnant par l'absurde, ou encore à exploiter l'inégalité :

un+1 >un-1(1+ 2/(n+1)) en effectuant une récurrence.
Si on procède dans l'autre sens en cherchant une majoration on obtient un produit de la forme (1+2/k+1) et en prenant le log on a une série de terme général équivalent à 1/k+1 donc divergent mais ca ne suffit pas à prouver qu'elle diverge car c'est une majoration.

Ou encore à se ramener à un système en Xn=(un, un-1) et calculer les puissances successives de ma matrice associé mais rien ne sort !

Niryuba

Invité

Re : Suite, convergence

Bon j'ai trouvé quelque chose mais ca m'a l'air assez compliqué surtout compte tenu de la difficulté de l'exercice

Il s'agit de remarquer que

un cv ssi Sigma (un - un+1) cv

On utilise la relation de récurrence et on majore pour le terme général pour montrer qu'elle est supérieur à une série de Riemman de type 1/n. Pas très élégant ...

freddy

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Re : Suite, convergence

Salut,

ce qui est encore moins élégant est que tu es illisible. Alors, stp, code en Latex et evite le langage SMS, merci !

Niryuba

Invité

Re : Suite, convergence

Encore une réponse d'une utilité extrême. On doit pas avoir la même conception du langage SMS.

freddy

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Re : Suite, convergence

Encore une réponse d'une utilité extrême. On doit pas avoir la même conception du langage SMS.

Tu as raison, mon grand. Si tu n'as pas deux minutes de plus pour exposer clairement ton problème, on n'en perdra aucune pour te répondre.

Alors va poster ailleurs, ici, on respecte les "sachants" !

La bise chez toi.