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S8053833

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Analyse combinatoire

Bonjour,

Je cherche à connaître le nombre de combinaisons possibles de 100 boules indiscernables dans 5 urnes (ie en généralisant n boules pour k urnes). Ce problème ressemble à une combinaison avec répétition dont la formule est (n+k-1; k) où n désigne le nombre de tirages et k le nombre d'urnes. Or, l'application de cette formule donne des résultats erronés car il n'y qu'une seule solution pour 1 urne alors que la formule indique 100 possibilités. Je devrais en principe trouver 101 possibilités pour 2 urnes et la formule donne 5050.

Il y a donc une erreur dans mon raisonnement mais laquelle?

Merci par avance de votre aide.

Cordialement,

Bruno

totomm

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Re : Analyse combinatoire

Bonjour,
et bienvenue S8053833,

Je comprends votre question comme étant :
Disposant de n boules indiscernables, de combien de façons peut-on les répartir dans k urnes.

Si on note ni le nombre de boules qui se trouvent dans l'urne numéro i, la somme des ni (pour i de 1 à k) vaut n.
exemple n=100 et k=2, on peut répartir 0+100 ou 1+99 ou...ou 99+1 ou 100+0, soit 101 répartitions possibles.

Est-ce bien votre demande et quelle est votre formule que vous dites erronée ?

Groupoid Kid

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Re : Analyse combinatoire

Salut S8053833,

Ta formule est fausse : il s'agit de [tex]\binom{k-1}{n+(k-1)}[/tex]. Rappel de la démo : imaginons les urnes commes des tubes, ou on empile les boules. En rajoutant k-1 boules d'une autre couleur à la fin de chaque tube sauf le dernier, et empilant ces tubes les uns derrière les autres, on voit que les combinaisons coïcident avec les positions possibles des (k-1) nouvelles boules parmi le total des n+(k-1).

Avec cette correction il n'y a plus de problème il me semble.

Cordialement,
GK

S8053833

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Re : Analyse combinatoire

Bonjour,

Votre formulation correspond bien au problème posé.
En pratique, si on dispose d'une urne, il n'y aura qu'une seule possibilité (100 boules dans l'urne unique)
S'il y a deux urnes, on trouve bien 101 possibilités.

La formule à laquelle je faisais référence est la suivante (le format texte n'est pas parfait mais j'espère l'écriture compréhensible):
Combinaison (n+k-1; k)

Cdlt,

Bruno

Groupoid Kid

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Re : Analyse combinatoire

Hum, je crois que j'ai compris le souci :)

Pour utiliser les "combinaisons avec répétition" ici (première fois que j'entends ce terme), il faut réaliser une 100-combinaison avec répétition de l'ensemble des 5 urnes (pour chaque boule, on choisit une urne) et non pas une 5-combinaison avec répétition des 100 boules ^^
Donc dans la formule [tex]\binom{K}{N+K-1}[/tex], on a K=n=nombre de boules et N=k=nombres d'urnes. On retrouve bien alors :
[tex]\binom{K}{N+K-1}=\binom{n}{k+n-1}=\binom{(n+k-1)-n}{n+k-1}=\binom{k-1}{n+k-1}[/tex].

:)

GK

S8053833

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Re : Analyse combinatoire

Merci aux contributeurs. La formule semble fonctionner. La difficulté vient du fait qu'il existe n urnes mais en réalité n-1 choix possibles car la quantité de boules de la dernière urne est un choix imposé par la somme des boules des urnes précédentes. Ainsi par exemple si on choisit la combinaison (30,25,10,15, X)  X ne peut prendre que la valeur 20.

totomm

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Re : Analyse combinatoire

Bonsoir,

j'avais au moins compris le problème posé (post #2), mais je commençais à peine à réfléchir à une possible solution que GK donnait cette solution (post #3) et même redressait (post #5) la formule première de S8053833 en en expliquant l'interprétation.

@ S8053833 : Il ne faut pas dire "La formule semble fonctionner", c'est LA solution.
J'ai ramé un bon moment dans mes propres recherches avant enfin d'arriver à comprendre la belle solution de GK en faisant attention
à la partie de phrase : " En rajoutant k-1 boules d'une autre couleur...".
On ne peut cependant pas reprocher à GK d'être laconique car sa solution est très précise...