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sylphynx

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Re : Calcul integrale

Freddy
oui je suis surpris!!!
je comprend rien mais tant pis je me debrouillerai
merci Freddy

sylphynx

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Re : Calcul integrale

j'ai capté!
encore merci Freddy

yoshi

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Re : Calcul integrale

Re,

j'ai capté!

T'as capté quoi, le conseil de freddy ou le fait que f_n(0)=2n+1 ?
Résultats dus à Python :
pour n=253 et 2n+1 = 507

x = 10^-1     f_n(0.1) = 4.21675266942
x = 10^-2     f_n(0.01) = -93.6751340868
x = 10^-3     f_n(0.001) = 485.556901418
x = 10^-4     f_n(0.0001) = 506.782822354
x = 10^-5     f_n(1e-05) = 506.997827947
x = 10^-6     f_n(1e-06) = 506.999978279
x = 10^-7     f_n(1e-07) = 506.999999783
x = 10^-8     f_n(1e-08) = 506.999999998
x = 10^-9     f_n(1e-09) = 507.0
x = 10^-10    f_n(1e-10) = 507.0
x = 10^-11    f_n(1e-11) = 507.0
x = 10^-12    f_n(1e-12) = 507.0
x = 10^-13    f_n(1e-13) = 507.0
x = 10^-14    f_n(1e-14) = 507.0
x = 10^-15    f_n(1e-15) = 507.0
x = 10^-16    f_n(1e-16) = 507.0
x = 10^-17    f_n(1e-17) = 507.0
x = 10^-18    f_n(1e-18) = 507.0
x = 10^-19    f_n(1e-19) = 507.0
x = 10^-20    f_n(1e-20) = 507.0

@+

sylphynx

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Re : Calcul integrale

Re,
T'as capté quoi, le conseil de freddy ou le fait que f_n(0)=2n+1 ?

les deux c'est bon je me suis fait avoir!!!!

[tex] f_n(0)=2n+1[/tex]  pour tout naturel n
[tex]f_n(x)=\frac{sin((2n+1)x)}{sinx}[/tex] pour x > 0

prolonger sur 0

[tex]dérivée\  \   de\  \   sin((2n+1)x)\   =\  (2n+1).cox((2n+1)x )[/tex]
[tex]dérivée\  \   de\  \  sin(x)\   =\  cos(x )[/tex]
[tex] (2n+1).cos(0)\  =\  2n+1.[/tex]
[tex] cos(0)\  =\  1[/tex]

[tex]lim \  x->0^+ [/tex], [tex]sin(x)  -> 0^+[/tex]

[tex]lim  \  x->0^+ [/tex], [tex] sin((2n+1)x) -> 0^+[/tex]

par conséquent on peut établir
[tex]f_n(0) \  =\  \frac {(2n+1).cos(0)}{cos(0)}\  =\  2n+1[/tex]

Dernière modification par sylphynx (17-05-2013 19:33:11)

totomm

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Re : Calcul integrale

Bonsoir,

allez, un petit cadeau : pour n entier non nul,[tex] f_n(0)=2n+1[/tex]
Donc f_n est une fonction continue de [tex]I = [0,\, \frac{\pi}{2}\ ][/tex] vers [tex][-1,\, 2n+1\ ][/tex]…

Je suis incorrigible et sans doute exaspérant de voir ainsi les petits détails :
[tex]f_n[/tex] oscille bien plus bas que -1 en venant de 2n+1.
Sa dérivée s'annule pour [tex]2ncos((2n+1)x) = \frac{sin(2nx)}{sin(x)}[/tex] , alors pour la 1ère oscillation négative,
si [tex]n=2\ :\  f_n[/tex] descend  jusqu'à -1.25 pour x = 0.91
si [tex]n=3\ :\  f_n[/tex] descend  jusqu'à -1.63 pour x = 0.65
si [tex]n=4\ :\  f_n[/tex] descend  jusqu'à -2.04 pour x = 0.50  etc. mais c'est largement hors sujet...

Dernière modification par totomm (17-05-2013 20:08:15)

yoshi

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Re : Calcul integrale

Salut,

Voilà la parfaite illustration de ce que j'ai toujours dit qu'il fallait éviter... Si dans une discussion, on ne laisse pas celui qui a pris en charge ladite discussion conduire son affaire jusqu'au bout à sa façon, alors la cacophonie s'installe :
il y a des interventions "terroristes" parasites,
il y a le provocateur de service (fier de l'être) mais qui en cas de retour de flamme va nous faire la "vierge effarouchée",
il y a encore la mouche du coche qui vient vous proposer, avec ses gros sabots, plusieurs méthodes...

Je propose donc :
[tex]f_n(x)=\frac{\sin((2n+1)x}{x}=\frac{\sin((2n+1)x}{(2n+1)x} \times \frac{(2n+1)x)}{x}= \frac{\sin((2n+1)x)}{(2n+1)x} \times (2n+1)[/tex]
Quand x --> 0 alors X = (2n+1)x --> 0
[tex]\frac{\sin((2n+1)x)}{(2n+1)x}[/tex] est de la forme [tex]\frac{\sin(X)}{X}[/tex] avec [tex]X \mapsto 0[/tex]
Donc
[tex]\lim_{X \mapsto 0}\frac{\sin(X)}{X}=1[/tex]
Et par voie de conséquence :
[tex]\lim_{x\mapsto 0} \frac{\sin((2n+1)x)}{(2n+1)x} \times (2n+1) = 2n+1[/tex]

Sinon, j'avais pensé que au voisinage de 0, [tex]\sin(x) \sim x[/tex] donc que [tex]\sin((2n+1)x) \sim (2n+1)x[/tex]
D'où :
[tex]\frac{\sin((2n+1)x)}{x}\sim \frac{(2n+1)x}{x} = 2n+1[/tex]

Il y encore la possibilité de passer par un DL (à l'ordre 1, ça revient au même que ci-dessus) mais ce n'est pas du prog de TS...

Ou enfin le théorème de l'Hôpital
[tex]\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \cdots[/tex]
qui peut s'appliquer à condition que f et g soient dérivables au voisinage de a... a exclu !
C'est le cas ici.

Donc [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin((2n+1)x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(2n+1)\cos((2n+1)x)}{1} = 2n+1[/tex]
Mais ce n'est pas au programme de TS

C'est bon, tout le monde est content ? Vous avez vu ?
Êtes-vous convaincus maintenant qu'il est préférable de "foutre la paix" à celui qui prend en charge une discussion jusqu'à ce qu'il en ait terminé ?

   Yoshi
Moidérateur

freddy

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Re : Calcul integrale

Salut,

et bravo à yoshi pour toutes les manières d'arriver au résultat. La première méthode est celle qu'on peut utiliser en TS spé math j'imagine, en guidant bien l'élève, la seconde est celle que j'ai utilisée, la troisième est réservée à ceux qui ont plus de 65 ans :-))) ou aux curieux, car il se dit que la règle de l'Hôpital est "morte" sur l'autel du DL :-)))

Pour Bakary le bavard, l'idée est de dire que [tex]U_n[/tex] existe car [tex]f_n[/tex] est bien définie et continue sur [tex]I[/tex], donc intégrable.

Le reste comme il a été dit à deux voix, et merci à la "vierge effarouchée" pour la précision de la borne inférieure de [tex]f_n(I)[/tex], je suis passé un peu trop vite en effet.

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Hum...Salut!!!

Merci pour le  cadeau! Freddy

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (17-05-2013 22:13:50)

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Re.

Merci Yoshi!!!

je ne savais que le theoreme de l'hopital ne faisait pas partie du programme de Ts.

Donc si je comprends bien on peut passer aussi par la limite pour montrer l'existence de [tex]f_n[/tex]

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (17-05-2013 22:41:50)

yoshi

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Re : Calcul integrale

Bonjour,

Après re-vérification, non ce théorème n'est pas cité dans le programme TS (il n'y était déjà pas dans le programme en vigueur en 1998 !) : probablement l'est-il dans un ou plusieurs manuels, comme un exercice visant à en établir une démonstration.
Si j'arrive à me procurer les documents d'accompagnements du programme en vigueur, je pense que je l'y trouverai au rayon "A traiter en activités"...
Pour répondre de façon claire et précise à Bakary, je renvoie à ce lien :
Théorème de l'hôpital : CAPES et Agrégation

Quant au sacrifice sur l'autel du DL, j'ai cru comprendre moi, qu'elle n'était plus en odeur de sainteté parce qu'elle ne marchait pas toujours, parce qu'il y avait beaucoup de conditions à remplir avant de l'employer (cf le lien ci-dessus)...
Je constate donc, que mon emploi de cette règle était un peu "à l'arrache"...
Pour une démo : Wikipedia par exemple.

@+

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Salut!!! Yoshi...

Thanks for your help.

freddy

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Re : Calcul integrale

Salut,

pour clore cet intéressant sujet dont le but était de bien raisonner avant de calculer, à la question de savoir si [tex]n \ge 0[/tex] ou [tex]n \gt 0[/tex] et à laquelle Bakary l'étourdi ne répond pas, j'ai fait un petit calcul pour vérifier que [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].

Du coup, pour conclure, on pourrait demander combien vaut [tex]U_n[/tex]. Le résultat est immédiat !

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Salut Freddy...!!!

D'apres ce qui precede on a[tex] U_{n+1}(x)-U_n(x)=0[/tex] ca signifie que [tex]U_n[/tex] est constante.

J'en deduis que [tex]U_{n+1}=U_n=....=U_n(0)[/tex] sauf erreur bien sure...????

Merci et a plus tard.???

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (19-05-2013 12:29:31)

freddy

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Re : Calcul integrale

Re,

ouaip, sauf erreur comme tu dis, sauf que des erreurs, il y en pleins  ... Tu es désespérant, l'ami !!!!!!!! Comprends tu vraiment ce que tu fais, dis, écris ???

Est ce que [tex]2n+1[/tex] est une constante ???

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Re, non [tex]2n+1[/tex] n'est pas une constante...????
Je me suis precipite pour ecrire et faire ..... je rectifie....j'essaye de trouver la valeur de [tex]U_n[/tex].

freddy

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Re : Calcul integrale

Salut,

pour ne pas laisser trainer trop de bêtises de Bakary l'insouciant sur le site, finissons le travail (qui n'est d'ailleurs pas demandé).

Donc, puisque [tex]U_n[/tex] est une constante pour [tex]n \in \mathbb{R}[/tex], la constante est égale à celle calculée pour [tex]n=0[/tex].

On a donc [tex]U_n=U_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\;dx=\frac{\pi}{2}[/tex]

BAKARY NDIAYE

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Re : Calcul integrale

Salut.

Merci...!!!! pour ta question et ta reponse Freddy....

sylphynx

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Re : Calcul integrale

Re,

es-tu certain de pouvoir affirmer que c'est impossible ? Ta preuve est fausse, car tu as une forme indéterminée 0/0.

Et les deux zéros ne sont pas équivalents. Vérifie avec ta calculatrice , tu vas être surpris du résultat !

PS : ce serait bien que tu arrêtes d'écrire des conneries un peu partout sur le site, tu finis par polluer grave, si tu vois ce que je veux dire !

mais moi je suis poli
alors même si en maths tu est une sommitée
je suis droit et je me regarde dans une glace
toi tu parle comme un pourceau