Calcul integrale

BAKARY NDIAYE · 14-05-2013 21:25:09

J'ai fait un exercice.

voici l'enonce:

[tex]\mathbf{exercice}[/tex]: pour tout entier [tex]n[/tex] superieur ou egale a 1 on considere la fonction numerique [tex]f_n(x)[/tex] definie sur[tex][0,\frac{\pi}{2}][/tex] par la fonction [tex]f_n(x)=\frac{sin(2n+1)x}{sinx}[/tex] si x est different de 0 et prolongee par continuite en 0.

Soit de plus l'integrale [tex]U_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\,f_n(t)\,dt[/tex]

Montrer que [tex]U_n[/tex] existe pour tout n [tex]\in[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex] et que la suite [tex](U_n)[/tex] est constante.

(On pourra utiliser la formule (1) de l'exercice precedent).

Ce que j'ai fait:

1.On a d'apres le texte [tex]U_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\,f_n(t)\,dt[/tex] ceci implique que [tex]U_n[/tex] est la primitive de [tex]f_n[/tex] autrement dit [tex](U_n)'=f_n[/tex], or la derivee d'une fonction existe ssi cette fonction existe et comme [tex]f_n[/tex] est definie sur son intervalle si t est different de 0,donc elle existe.Par passage donc a la limite [tex]U_n[/tex] existe puisqu'elle est une primitive de [tex]f_n(t)[/tex].

2.Montrons que [tex]U_n[/tex] est constante.

la relation(1) enoncee dans le texte et donnee par l'exercice precedent est: [tex]sinp-sinq=2cos(\frac{p+q}{2})sin(\frac{p-q}{2})[/tex].
En utilisant cette relation, j'ai trouve: [tex]U_{n+1}-U_n=\frac{2}{2n+1}\times(-1)^n[/tex] j'en deduis que [tex]U_n[/tex] est constante, par analogie a l'exo precedent ou on n'a pas la meme valeur de [tex]U_n[/tex] et on trouve tout de meme cette meme valeur en faisant la difference [tex]U_{n+1}-U_n[/tex]

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (16-05-2013 21:25:13)

freddy · 14-05-2013 22:25:46

Bonsoir Bakary, (on n'est pas des sauvages !...)

S'il vous plait et merci, c'est pour les chiens errants ?

Deux petites questions :

1 - comment prolonges tu [tex]f_n(t)[/tex] par continuité en 0 (quelle valeur ?) ?

2 - [tex]f_n[/tex] est définie pour [tex]n \gt 0[/tex] ou bien n entier naturel ?

Une remarque : [tex]U_n[/tex] est un nombre réel, tandis que la primitive d'une fonction est elle-même une fonction. Donc dés le départ, il y a des erreurs de raisonnement. Par contre, tu rédiges ta solution, et ça, c'est très bien.

totomm · 14-05-2013 23:27:35

Bonsoir,

une piste :

Montrer que [tex]U_{n+1}-U_n[/tex] est constante revient à montrer que
[tex]\int_0^\frac{\pi}{2}\,(f_{n+1}(t)-f_n(t))\,dt[/tex] est nulle

on a donc [tex] sin(2n+3)t -sin(2n+1)t [/tex] au numérateur de l'intégrale
On pose p = (2n+3)t et q = (2n+1)t et ce numérateur devient [tex]2\times{cos(2n+2)t}\times{sint}[/tex] ce qui élimine le dénominateur sint

En poursuivant, on trouvera que l'intégrale définie est nulle…

yoshi · 15-05-2013 07:23:32

Bonjour,

Bakary tu t'es montré irrespectueux (tu n'es pourtant, ni un gamin, ni un petit nouveau sur le forum...), ce comportement est inacceptable. Corrigez ça pour moi : non content de ne pas avoir dit Bonjour, Bonsoir ou merci : tu donnes des ordres ?

Je désapprouve totalement qu'une réponse ait pu être apportée venant après la charge - justifiée - de freddy dans son post !
Dérouler alors le tapis rouge en traçant un tel boulevard (une piste, ça ???) est incompréhensible et constitue un véritable encouragement à la grossièreté !
J'en suis surpris (?) et "contrarié"....
Dois-je citer les Règles de BibMath ?

Je ne vois pas de raison de faire bénéficier Bakary d'un traitement de faveur par rapport aux cas semblables.
En conséquence, je ferme cette discussion.
Bakary, si tu veux de plus amples informations, tu vas devoir tout recommencer (ce sera une bonne leçon) en te montrant courtois cette fois.

Un détail encore sur un forum, Latex ne doit pas être utilisé pour faire des titres : la barre d'outils des messages possède ce qu'il faut pour ça...

Yoshi
- Modérateur -

[EDIT]
Au vu des excuses de Bakary, j'ai réouvert la discussion...

totomm · 16-05-2013 20:28:05

Bonsoir,

@BAKARY NDIAYE : Je viens de voir tes excuses que je trouve ultra-sympathiques.
freddy et yoshi ont eu raison de réagir, et si je n'avais pas vu que tu étais sur la solution avec une petite erreur, je n'aurais pas mis mon post #3.

Tu as de bonnes intuitions et de bonnes démarches, alors il faut soigner tes calculs. Tu as calculé un 2n+1 à la place de 2n+2, et patatras, tu fiches par terre le résultat de l'intégrale définie : Tu obtient un sinus à prendre entre 0 et soit pi/2, soit 3pi/2, alors que tout est parfait et nul avec un sinus à prendre ente 0 et des multiples de pi ! Quel désastre pour 4n+4 mal divisé par 2. Et c'est le genre d'erreur que l'on ne voit plus quand on l'a faite ! Soigne tes calculs numériques !

Bon, tu dois encore répondre à la question de freddy

Bonne suite.

BAKARY NDIAYE · 16-05-2013 21:18:29

Salut.

Merci!!!encore Totomm...Tu as raison j'ai fais une erreur de calcul. Je tacherais maintenant de faire attention en calculant.

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (16-05-2013 21:19:04)

BAKARY NDIAYE · 16-05-2013 21:22:19

Salut!!! Freddy.

C'est le texte qui dit que,la fonction [tex]f_n[/tex] est prolongeable par continuite en 0.

sylphynx · 16-05-2013 21:35:12

sauf erreur je suppose [tex]f_n(0) = 1[/tex] vu que les dérivées de sin (x) et x valent 1 en zero tandis que quelque soit n alors [tex]sin(2n+1)\ \neq \ 0 [/tex]

selon si j'ai bien lu
[tex]f_n(x)\ =\ \frac {x.sin(2n+1)}{sin (x)} [/tex]

freddy · 16-05-2013 21:40:20

Salut,

bon, OK, je craignais que tu aies recopié de manière incomplète l'énoncé. Cela étant, tu pourrais essayer de donner l'expression de [tex]f_n(0)[/tex] à titre d'exo complémentaire, mais ce n'est pas immédiat, je le reconnais.

Par contre, tu n'as pas répondu à ma seconde petite question et surtout, tu n'as pas démontré que [tex]U_n[/tex] existe (ton raisonnement est tout simplement faux).

Et c'est ce point qui me heurte le plus par rapport à l'intervention inappropriée de totomn : il faut d'abord démontrer que la suite existe avant de montrer que c'est une constante. Au lieu d'ouvrir un boulevard, il aurait suffit de montrer à bakary que le résultat de son calcul était, comme il le pressentait bien, incohérent avec la question (montrer que la suite est une constante, et non un résultat fonction de n), et surtout, revenir à la question #1 qui conditionne la # 2 : montrer que la suite existe bien.

@totomn : je te rappelle que le chemin de l'enfer est souvent pavé de bonnes intentions. Un minimum de réflexion avant de cibler un soutien pédagogique ne nuirait pas, me semble t-il !

sylphynx · 16-05-2013 21:44:18

bonsoir Freedy je suppose que le post #8 continuité [tex] f_n(0)\ =\ 1 [/tex]est ok?
ou je suis çà coté de la plaque?

freddy · 16-05-2013 21:46:50

sylphynx a écrit :

sauf erreur je suppose [tex]f_n(0) = 1[/tex] vu que les dérivées de sin (x) et x valent 1 en zero tandis que quelque soit n alors [tex]sin(2n+1)\ \neq \ 0 [/tex]
selon si j'ai bien lu
[tex]f_n(x)\ =\ \frac {x.sin(2n+1)}{sin (x)} [/tex]

Re,

non, non, tu as mal lu, on a : [tex]f_n(x)=\frac {\sin \left((2n+1)x\right)}{\sin x}[/tex] pour x non nul (modulo [tex]\pi[/tex]).

Dernière modification par freddy (16-05-2013 21:49:23)

freddy · 16-05-2013 21:48:06

sylphynx a écrit :

bonsoir Freedy je suppose que le post #8 continuité [tex] f_n(0)\ =\ 1 [/tex]est ok?
ou je suis à coté de la plaque?

Oui, je confirme, à coté de la plaque ! :-)

sylphynx · 16-05-2013 21:54:01

merci Freddy
je suis à coté de la plaque mais un manque de parenthèses ça aide pas
mais là j'obtiens encore une continuitée [tex]f_n(0)\ = 1 [/tex]
je suis encore à coté de la plaque?

Dernière modification par sylphynx (16-05-2013 21:55:37)

sylphynx · 16-05-2013 22:05:39

sauf erreur Freddy mais j'ai deux objections

la fonction f_n(x) avec son domaine d'application est [tex][0,\frac {\pi}{2}][/tex]
c'est pour ça que l'on demande la continuité en 0 vu que 0 appartiens à ce domaine

sinon c'est ça pour la continuité [tex]f_n(0)=1[/tex]

Dernière modification par sylphynx (16-05-2013 22:06:25)

yoshi · 16-05-2013 22:20:55

B'soir,

Juste avant d'aller rejoindre Morphée :

sylphynx a écrit :

je suis à coté de la plaque mais un manque de parenthèses ça aide pas

Oui, bien sûr, mais dans ce cas on aurait écrit pour éviter la confusion et l'empilement de parenthèses :
[tex]f_n(x)=\frac{x\sin(2n+1)}{\sin x}[/tex]

En outre, mais là vu l'heure tardive pour moi, je suis imprudent :
dans ce ce cas[tex] f_n(0) = \sin(2n+1)[/tex] et non 1 (1 si [tex]2n+ 1= \frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], -1 si [tex]2n+ 1= -\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]...etc)

@+

Dernière modification par yoshi (16-05-2013 22:32:30)

sylphynx · 16-05-2013 22:31:31

yoshi a écrit :

Oui, bien sûr, mais dans ce cas on aurait écrit pour éviter la confusion et l'empilement de parenthèses

j'ai pas l'habitude ça c'est hyper sûr!!!
j'ai du chemin à faire ..

totomm · 16-05-2013 22:53:23

Bonsoir,

@freddy : Oui, j'ai de suite vu l'erreur dans l'application de sin(p)-sin(q), comme je l'ai expliqué au post #5. Après vos questions au post #2 il m'apparaissait qu'il fallait réconforter Bakary NDiaye au post #3 sans vouloir interférer avec les questions de votre post #2.

Personnellement le prolongement de la fonction en 0 et l'existence de l'intégrale ne me posent aucune difficulté.
Et nous savons par ailleurs que je suis absolument incapable d'une réflexion correcte et d'une pédagogie efficace...

sylphynx · 16-05-2013 23:11:43

BAKARY NDIAYE a écrit :

voici l'enonce:
[tex]\mathbf{exercice}[/tex]: pour tout entier [tex]n[/tex] superieur ou egale a 1 on considere la fonction numerique [tex]f_n(x)[/tex] definie sur[tex][0,\frac{\pi}{2}][/tex] par la fonction [tex]f_n(x)=\frac{sin(2n+1)x}{sinx}[/tex] si x est different de 0 et prolongee par continuite en 0.

non Yoshi pour la continuité en zero

le domaine de définition de la fonction est [tex][0,\frac{\pi}{2}][/tex]

cette fonction étant [tex]f_n(x)=\frac{sin((2n+1)x)}{sinx}[/tex] si x est different de 0

on doit prolonger en zero car zero appartiens au domaine de définition de f

[tex]f_n(0) \ =\ 1[/tex]

[tex]lim \ x->0^+ [/tex], [tex]sin(x) -> 0^+[/tex]

[tex]lim \ x->0^+ , sin((2n+1)x) -> 0^+[/tex]

Dernière modification par sylphynx (16-05-2013 23:14:33)

BAKARY NDIAYE · 17-05-2013 00:25:19

Salut!

On a: [tex]U_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\,f_n(t)\,dt[/tex].

Pour montrer que [tex]U_n[/tex] existe , je dois montrer d'abord l'existence de [tex]f_n[/tex].Des l'instant que je parviens a montrer que cette derniere fonction existe , je pourrais donc conclure qu'en integrant cette fonction dans l'intervalle indique en haut que [tex]U_n[/tex] existe.
Mais comment montrer que [tex]f_n[/tex] existe?????

Bakary ndiaye cherche.......

sylphynx · 17-05-2013 00:35:39

Salut Bakary mais sauf erreur

mais tu montre l'existence de fn tout simplement en montrant que cette fonction est une application de ton domaine de definition [tex][0,\frac {\pi}{2}][/tex] vers [-1,1]

pour cela tu doit donner la valeur du prolongement sur fn(0)

fn(0)=1 selon le post #18

Dernière modification par sylphynx (17-05-2013 00:36:34)

BAKARY NDIAYE · 17-05-2013 00:53:52

Re.

Salut, apres avoir reobserver la premiere phrase de l'exercice. Il m'est venu subitement a l'esprit d'essayer de demontrer par recurrence et comme moi je veux d'abord montrer l'existence de [tex]f_n[/tex] d'abord:

J'ai procede ainsi:

Etape 1: Initialisation pour [tex]n=1[/tex], je trouve [tex]f_1(x)=2cos2x+1[/tex] qui exite , sauf erreur de ma part, il fait tard et j'ai un peu sommeil.

Etape 2: Heredite , en supposant [tex]f_n[/tex] vrai et en faisant la difference [tex]f_{n+1}-f_n[/tex], je trouve: [tex]2cos(2nx+2x)[/tex].

En conclusion je dis que [tex]f_n[/tex] est vrai(existe) donc puisque [tex]f[/tex] est vrai au rang[tex]n+1[/tex]

Bonne soiree a tous.

Bakary Ndiaye.

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (17-05-2013 00:58:11)

totomm · 17-05-2013 09:12:32

Bonjour,

@BAKARY NDIAYE : Encore une fois, relisez bien pour vérifier le sens de ce que vous écrivez : Vous vouliez dire

"En conclusion je dis que [tex]f_{n+1}[/tex] est vrai (existe) donc, puisque [tex]f_n[/tex] est vrai au rang n"

freddy · 17-05-2013 17:30:53

Salut,

allez, une petit cadeau : pour n entier non nul,[tex] f_n(0)=2n+1[/tex]

Donc f_n est une fonction continue de [tex]I = [0,\, \frac{\pi}{2}][/tex] vers [tex][-1,\, 2n+1][/tex] et donc intégrable sur [tex]I[/tex].
Donc [tex]U_n[/tex] existe

Ensuite, on fait comme totom dit : pour montrer que [tex]U_n = Cte[/tex], il suffit de montrer que [tex]U_{n+1}-U_n = 0[/tex]

Dernière modification par freddy (17-05-2013 17:48:30)

sylphynx · 17-05-2013 17:45:44

freddy a écrit :

Salut,
allrez, une petit cadeau : pour n entier non nul,[tex] f_n(0)=2n+1[/tex]

bonjour Freddy
c'est impossible d'obtenir ce résultat car pour tout entier naturel n on obtiens
[tex]lim \ x->0^+ [/tex], [tex]sin(x) -> 0^+[/tex]

[tex]lim \ x->0^+ [/tex], [tex] sin((2n+1)x) -> 0^+[/tex]

par conséquent [tex]f_n(0) \ =\ 1[/tex]
selon [tex]f_n(x)=\frac{sin((2n+1)x)}{sinx}[/tex] pour x > 0

f_n est une fonction dont le domaine de définition est [tex]D_f\ =\ [0,\, \frac{\pi}{2}][/tex]
et le domaine d'application est [tex]D_a\ =\ [-1,1][/tex]

Dernière modification par sylphynx (17-05-2013 17:47:51)

freddy · 17-05-2013 17:51:58

Re,

es-tu certain de pouvoir affirmer que c'est impossible ? Ta preuve est fausse, car tu as une forme indéterminée 0/0.

Et les deux zéros ne sont pas équivalents. Vérifie avec ta calculatrice , tu vas être surpris du résultat !

PS : ce serait bien que tu arrêtes d'écrire des conneries un peu partout sur le site, tu finis par polluer grave, si tu vois ce que je veux dire !

Dernière modification par freddy (17-05-2013 17:54:34)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 14-05-2013 21:25:09

Calcul integrale

#2 14-05-2013 22:25:46

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#3 14-05-2013 23:27:35

Re : Calcul integrale

#4 15-05-2013 07:23:32

Re : Calcul integrale

#5 16-05-2013 20:28:05

Re : Calcul integrale

#6 16-05-2013 21:18:29

Re : Calcul integrale

#7 16-05-2013 21:22:19

Re : Calcul integrale

#8 16-05-2013 21:35:12

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#9 16-05-2013 21:40:20

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#10 16-05-2013 21:44:18

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