Forum de mathématiques - Bibm@th.net

amatheur

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question sur les intégrales

Salut
Je voudrais savoir comment peut-on connaitre ou deviner à l'avance si l'intégrale d'une fonction, qui s’exprime à l'aide de fonctions élémentaires,  ne peut être exprimée par des fonctions élémentaires.
J'ai passé quelque jours à tenter d'intégrer une fonction que j'ai choisi au pif, et j'ai finis par apprendre en cherchant un peu sur wikipédia qu'elle s'appelle ...le logarithme intégral!
je sais que c'est un peu bête de ma part, mais je n'avais aucun moyen de le savoir, et c'est pour cela que je pose cette question pour éviter une autre mésaventure :)
A+

Fred

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Re : question sur les intégrales

Salut am@theur,

C'est malheureusement très difficile!!!
D'abord, il faut savoir ce que l'on définit comme fonction élémentaire.... Par exemple, pourquoi dire que le logarithme est une fonction élémentaire, alors que c'est une primitive de 1/t qui ne peut pas s'exprimer comme fraction rationnelle, et que le logarithme intégral n'est pas une fonction élémentaire!
  Cela dit, il existe une théorie pour cela, la théorie de Galois différentielle, et notamment un théorème de Liouville qui répond à la question que tu te poses, à condition de bien définir ce qu'est une fonction élémentaire. Tu peux en apprendre un peu plus ici :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d … ntielle%29

A+
Fred.

amatheur

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Re : question sur les intégrales

Salut

D'abord, il faut savoir ce que l'on définit comme fonction élémentaire.... Par exemple, pourquoi dire que le logarithme est une fonction élémentaire, alors que c'est une primitive de 1/t qui ne peut pas s'exprimer comme fraction rationnelle, et que le logarithme intégral n'est pas une fonction élémentaire!

Sur ça, je suis absolument d'accord.

J'ai parcouru avec intérêt le lien wiki, j'ai saisis ce que c'est que un corps différentiel et ses extensions, pour le théorème je me doute bien qu'il a besoin de plus que des connaissance en algèbre élémentaire pour le comprendre et pour saisir toute sa portée.

Cependant, maintenant je comprend mieux pourquoi, des fois dans les bouquins, on affirme fermement qu'une telle primitive ne peut être exprimée à l'aide des fonctions élémentaires! (c'est qu'il y a une preuve derrière).

Il ne me reste qu'à ne plus sortir des sentiers battus des exo bien ficelés et spécialement préparés pour les étudiants débutants, afin qu'il ne tombent pas dans de telles situations:) " mais bon, j'ai comme même finis par apprendre quelque chose de nouveau!"
Merci Fred.
A+

Dernière modification par amatheur (07-05-2013 23:36:18)

JeanJ

Invité

Re : question sur les intégrales

Salut,

c'est une question très intéressante, à laquelle Fred a donné un bon aperçu du mieux que l'on puisse faire de nos jours.
A un niveau moindre, pour ceux qui se posent des questions sur la (ou les) distinction(s) entre fonctions élémentaires et fonctions spéciales, l'article de vulgarisation "Safari au pays des fonctions spéciales" :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents