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saidnab10

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suite

bonjour

soit la suite Un définie par Uo= a et Un+1= Un ( 2-9Un ) avec a E R.

On me demande de déterminer pr quelles valeurs de a  la suite est convergente. et calculer la limite dans ces cas

réponse

d’après mes calculs [ 0,  1/9] est l'intervalle de convergence de Un   et j'ai eu

si a=0 (Un) converge vers 0

si a=1/9 pr tous n Un= 1/9 donc stationnaire d’où (Un) converge vers 1/9

si a est différent de 0 et de 1/9 alors la limite de la suite vérifié l’égalité  L = L( 2 - 9L) et après les calcul j'ai eu  L = 2/9

merci de bien vouloir vérifier mon raisonnement et me dire si ça tient.

Yassine

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Re : suite

Salut saidnab10,
Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi tu distingues les cas [tex]a=0[/tex] et [tex]a=\frac{1}{9}[/tex]. L'égalité vérifiée par la limite est vrai dès que la suite converge : [tex]L=L(2-9L) \Longleftrightarrow L(1-9L)=0 \Longleftrightarrow L \in \{0, \frac{1}{9} \}[/tex]

D'un autre côté, comme tu n'indiques pas les étapes qui te permettent de déterminer l'intervalle de convergence, je ne peux pas te corriger, mais le résultat que tu obtiens est incorrect (vue la définition, on voit que "ça se joue" plutôt autour de [tex]\frac{2}{9}[/tex]).

Roro

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Re : suite

Bonsoir,

Effectivement, sans aucun élément de preuve, difficile de te dire ce qui est juste ou faux (si ce n'est le résultat !).
Peut être qu'un dessin pourrait t'aider (tracer la courbe représentant [tex]f(x)=x(2-9x)[/tex], la droite y=x et les diverses suites [tex]u_n[/tex] selon [tex]u_0[/tex]...).
Tu pourrais d'ailleurs observer que si [tex]u_0=2/9[/tex] alors [tex]u_1=0[/tex]... et que la suite est alors stationnaire à partir du rang 1.

Roro.

saidnab10

Invité

Re : suite

Bonjour
Je m'excuse du retard à réagir.

En faite j'ai considéré la fonction f(x)= x(2-9x) définie dans R, et croissante sur ] -infini , 1/9[ donc Un est monotone et stable sur cette

intervalle après déduction par récurrence; et Un est croissante sur ]0 , 1/9[ et décroissante sur ]-infini, 0[;

d'autre part l’équation f(x)= x admet comme solution {0 , 1/9} ; donc si (Un) est croissante sur ]0, 1/9[ alors (Un) est converge vers 1/9

et (Un) décroissante sur ]-infini, 0[  donc (Un) ne peut pas être convergente vue les solutions de l’équation f(x) = x  par conséquence (Un) diverge.

Sur l'intervalle ]1/9, +infinie[ la fonction f(x) est décroissante donc on ne peux pas conclure quant à la monotonie et la convergence de (Un). Par contre j'ai relevé des cas particulier ou la suite Un est stationnaire donc convergente , les cas où Uo= 0 ; 1/9 ou 2/9.

donc par conclusion , je dirais (Un) converge sur l'intervalle ]0, 1/9[ de limite L = 1/9, et si Uo= 0 alors Un = 0 pr tous n donc converge vers L= 0; si Uo= 2/9 alors pr tous n>= 1 Un = 0 donc converge vers L = 0 et en fin si Uo= 1/9 alors pr tous n Un = 1/9 alors stationnaire donc converge vers L=1/9 .

Merci

Yassine

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Re : suite

Ton raisonnement n'est pas très correct. D'abord, tu dis que la fonction est croissante sur ]0,1/9[ et décroissante sur ]-infini, 0[, ce qui est faux (revois ton tableau de variations).
Comme le suggère Roro, un petit graphique t'aidera à comprendre ce qui se passe (c'est un polynôme du second degré, simple à tracer). Regarde ce qui se passe pour des valeurs proches de 2/9, en étant en dessous (prends par exemple 2/9 - 1/100 et calcule quelques valeurs).

saidnab10

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Re : suite

Bonjour Yassine

oui j'ai dis la fonction est croissante sur ]-infinie, 1/9[ par contre j'ai pas dis qu'elle est décroissante sur ]-infinie, 0[ , j'ai plutôt dis que la suite (Un) définie par la relation de récurrence  Un+1 = f ( Un) = Un ( 2 - 9Un) est décroissante sur ]-Infinie, 0[ en calculant Un+1 - Un

saidnab10

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Re : suite

Bonjour tous le monde

j'attends toujours une réaction de votre part par rapport à mon corrigé

merci.

freddy

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Re : suite

Bonjour tous le monde

j'attends toujours une réaction de votre part par rapport à mon corrigé

merci.

Bonjour à toi tout seul !

Il me semble que deux personnes t'ont répondu.

Si tu veux, je vais résumer : c'est a priori faux. IL faudrait que tu nous expliques comment tu fais, pour qu'on te dise où tu te trompes.

Yassine

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Re : suite

Bonjour saidnab10,
Si tu as bien analysé x(2-9x), Qu'est-ce que tu peux dire de l'image de l'intervalle [0,2/9] ?
Que se passe-t-il pour [tex]u_0 = \frac{2}{9}-\varepsilon[/tex] ?

saidnab10

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Re : suite

Bonjour yassine

je demande une aide et tu me pose des questions... , si j’étais apte à résoudre l'exercice seul , je ne l'aurai pas mis sur Bibmath, je l'ai mis pour que quelqu'un puisse me corriger et me donner une réponse .

sorry

freddy

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Re : suite

Bonjour yassine

je demande une aide et tu me pose des questions... , si j’étais apte à résoudre l'exercice seul , je ne l'aurai pas mis sur Bibmath, je l'ai mis pour que quelqu'un puisse me corriger et me donner une réponse .

sorry

Salut,

si tu veux qu'on fasse l'exo à ta place, c'est raté.

Roro t'a mis sur la voie, suis là ! Quant aux questions qu'on te pose, c'est aussi fait pour te conduire vers une recherche intelligente de la solution.

C'est le but de Bibmath que de t'aider, mais pas celui de faire à ta place. Tu vois ?

Allez, en selle, jeune homme !

Yassine

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Re : suite

saidnab10,
Je pense qu'en effet, c'est beaucoup plus enrichissant pour toi d'y arriver sans qu'on te donne la solution toute faite.
Vu ce que tu as déjà fait, je pense que tu n'es plus très loin de la solution. Les questions que je t'ai posées sont plus là pour te mettre sur la voie et t'indiquer ce que tu devrais chercher.
Ne t'inquiète pas, il y a suffisamment de gens compétents dans ce forum pour que tu sois sûr d'y trouver de l'aide. Mais comme dit l'adage, il vaut mieux apprendre à quelqu'un à pêcher que de lui donner un poisson.
Montre-nous tes tentatives et quelqu'un t'indiquera si c'est correct, et te guidera si ce n'est pas le cas.

freddy

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Re : suite

si a est différent de 0 et de 1/9 alors la limite de la suite vérifié l’égalité  L = L( 2 - 9L) et après les calcul j'ai eu  L = 2/9

Re,

Bon, bin là, tu écris trois erreurs ...

saidnab10

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Re : suite

Correction

si a est plutôt différent de 0  et de 2/9 alors la limite de la suite vérifié l’égalité  L = L( 2 - 9L) et après les calcul j'ai eu  L = 1/9

Re,

Bon, bin là, tu écris trois erreurs ...

saidnab10

Invité

Re : suite

Bonjour saidnab10,
Si tu as bien analysé x(2-9x), Qu'est-ce que tu peux dire de l'image de l'intervalle [0,2/9] ?
Que se passe-t-il pour [tex]u_0 = \frac{2}{9}-\varepsilon[/tex] ?

Sur l'intervalle ]0; 2/9[  x(2-9x) n'est pas monotone et de plus l'intervalle n'est pas stable par f(x)

Yassine

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Re : suite

Le polynôme est positif entre ses deux racines 0 et 2/9 et atteint son maximum en 1/9 (qui est le point fixe). Il est croissant sur [0,1/9] et décroissant sur [1/9,2/9].
Donc, entre 0 et 2/9, f(x) sera inférieur au maximum qui est 1/9.
Quand tu démarres par un u0 en dessous de 1/9, la fonction le fait monter progressivement vers le point fixe. Quand tu démarre avec un u0 entre 1/9 et 2/9, la fonction est décroissante, f(x) sera donc positive et inférieure à f(1/9)=1/9. u1 sera donc entre 0 et 1/9 et tu reviens au cas précédent.

freddy

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Re : suite

Salut,

je vais légèrement compléter le propos de yassine.

Le polynôme est positif entre ses deux racines 0 et [tex]\frac29[/tex] et atteint son maximum en [tex]\frac19[/tex] (qui est le point fixe).

Il est croissant sur [0,1/9] et décroissant sur [1/9,2/9].

Donc, entre 0 et 2/9, f(x) sera inférieur au maximum 1/9.

Quand tu démarres par un [tex]0 \lt u_0=a \le \frac19[/tex], la fonction le fait monter progressivement vers le point fixe.

Quand tu démarres avec un [tex]\frac19 \le u_0=a \lt \frac29[/tex], la fonction est décroissante et on a [tex]0 \lt f(x) \le f\left(\frac19\right)=\frac19[/tex]

On a alors [tex]0 \lt u_1=f(u_0) \le \frac19[/tex] et tu te ramènes au cas précédent.

Si [tex]u_0 = 0[/tex] ou [tex]u_0=\frac29[/tex], alors la suite est stationnaire et [tex]u_n = 0[/tex] pour [tex]n \ge 1[/tex]

Si [tex]u_0 \lt 0[/tex] ou [tex]u_0 \gt \frac29[/tex], la suite est divergente.

saidnab10

Invité

Re : suite

Merci