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amatheur

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exo d'analyse.

salut
j'ai beaucoup de mal à faire cet exo:
Soit f une fonction de classe [tex]{C}^{\infty }[/tex] sur [0, 1], telle que
[tex]f\left(0\right)=f\left(1\right)=f'\left(0\right)=f'\left(1\right)=0[/tex]

Montrer qu’il existe, pour tout x de [0, 1], un c de [0, 1] tel que
[tex]f\left(x\right)={f}^{\left(4\right)}\left(c\right)\frac{{x}^{2}{\left(1-x\right)}^{2}}{24}[/tex]

j ai besoin d'une indication pour me débloquer svp.

Dernière modification par amatheur (04-05-2013 20:35:27)

Fred

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Re : exo d'analyse.

Salut,

  Cela, c'est un coup de théorème de Rolle astucieux....
Fixons [tex]x\in ]0,1[ [/tex] (le résultat est trivial en 0 et en 1) et considérons la fonction
[tex]g(t)=f(t)-at^2(1-t)^2[/tex] où [tex]a[/tex] est choisi de sorte que [tex]g(x)=0[/tex].

On a alors [tex]g(0)=g(x)=g(1)=0[/tex] et [tex]g'(0)=g'(1)=0[/tex].
Avec toutes ces hypothèses, et une utilisation répétée du théorème de Rolle, on doit trouver un réel [tex]c[/tex] tel que
[tex]g'(c)=0[/tex].
Et cela te prouvera que [tex]a=f^{(4)}(c)[/tex].

F.

amatheur

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Re : exo d'analyse.

salut
Merci encore une fois Fred, j'avais déjà utilisé la fonction g(x), mais sans penser à fixer le x sur [tex] ]0,1[ [/tex] ni à annuler g en ce point! maintenant tout est clair.
A+