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Bluerock57

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Calcul matriciel : trouver N tq N^2=M

Bonjour à tous,

Voici mon sujet, où je n'arrive vraiment plus à trouver le raisonnement : trouver N telle que N^2=M
On a M comme matrice d'étude (associée à f), mais aussi M2, matrice diagonale associée à f.
Les données de l'énoncé sont ici :

Merci par avance pour votre aide !

P.S : après réflexion le petit truc est de prendre simplement M3, tq M3^2=M2. On trouve finalement P.M3.P^-1=N

Dernière modification par Bluerock57 (26-04-2013 18:11:39)

Roro

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Re : Calcul matriciel : trouver N tq N^2=M

Bonsoir,

Puisque Bluerock57 a lui-même trouvé la réponse à sa question, je vais quand même me permettre un petit commentaire sur cet exercice...

La question très générale est de pouvoir définir la racine carrée d'une matrice (c'est-à-dire, étant donnée M, trouver N telle que [tex]N^2=M[/tex]).

En général, on ne peut pas le faire . Déjà pour des réels, c'est-à-dire des matrices [tex]1\times 1[/tex], on sait que les nombres négatifs n'ont pas de racines carrées (réelles)).

En fait, on peut le faire facilement lorsque la matrice M (réelle) est symétrique et "positive". Dans ce cas la matrice M est diagonalisable et toutes les valeurs propres sont positives : [tex]M=PDP^{-1}[/tex].

Dans ce cas, on fait comme Bluerock57, on pose [tex]N=P\sqrt{D}P^{-1}[/tex], la diagonale [tex]\sqrt D[/tex] étant constituée des racines carrées de la diagonale D (dans le même ordre !).

Roro.