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zarguazargua

Invité

Sobolev

Bonjour

1- Comment on définit la norme standard sur [tex]H^2(\mathbb{R}^n)[/tex] [tex]||u||_{H^2(\mathbb{R}^n}[/tex]?
Est ce que [tex]||u||^2_{H^2} = ||\Delta u||^2_{L^2} + ||u||^2_{L^2}[/tex] ou bien [tex]||u||^2_{H^2} = ||\Delta u||^2_{L^2}  + ||\nabla u||_{L^2}^2 +  ||u||^2_{L^2}[/tex] ?

2- On définit un produit scalaire sur [tex]H^2(\mathbb{R}^n)[/tex] par : [tex]\sum_{i,j=1}^n \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n } \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \overline{\dfrac{\partial v}{\partial x_j^2}} dx + \lambda \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} u \overline{v} dx[/tex] et on note la norme définie à partir de ce produit scalaire [tex]||u||_*[/tex]

Comment montrer qu'il existe une coonstante positive [tex]C_1[/tex] telle que [tex] ||u||_{H^2} \leq C_1 ||u||_* [/tex]?

Merci pour l'aide.

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : Sobolev

Bonsoir zarguazargua,

A priori la définition de la norme sur [tex]H^2[/tex] serait :
[tex]\|u\|_{H^2}^2 = \|\nabla^2 u\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}+\|u\|_{L^2}.
[/tex]
Et je pense que le but de l'exercice est de montrer que cette norme est équivalente à la norme
[tex]\|u\|_{\star}^2 = \|\Delta u\|_{L^2}+\lambda \|u\|_{L^2}.
[/tex]
Ceci étant dit, la norme que tu notes [tex]\star[/tex] n'est pas la même que celle que je note [tex]\star[/tex] ci-dessus.
Es-tu sûr de ta somme ?
Que vaut [tex]\lambda[/tex] (c'est un réel ? positif ?)

Dans tous les cas, je pense que la démo qu'on te demande est basée sur des intégrations par parties...

Roro.

zarguazargua

Invité

Re : Sobolev

Bonsoir,
[tex]\lambda > 0[/tex] et la norme notée par * est celle issue du produit scalaire que j'ai donné.