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yoshi

Modo Ferox

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Re : arithmétique

Re,

Voyons, voyons, voyons...
Si je minore et majore en même temps :
[tex]\frac{1}{c^2}<\frac{1}{b^2}<\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow \frac{3}{c^2}<\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}<\frac{3}{a^2}[/tex]
Soit :
[tex]\frac{3}{c^2}<\frac{1}{4}<\frac{3}{a^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{a^2}{3}<4<\frac{c^2}{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a^2<12<c^2[/tex]
D'où  [tex]a^2\leqslant 9[/tex] et  [tex]c^2\geqslant 16[/tex]
Ou encore
[tex]a \leqslant 3[/tex]   et   [tex]c \geqslant 4[/tex]
Quid de b ?
Comme on ne peut avoir dans ces conditions que a =3, si b =3 il y a contradiction avec le point de départ (tous différents).
La seule possibilité restante est donc également[tex] b \geqslant 4[/tex]
Il vient donc
[tex]\frac{1}{9}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}= \frac{5}{36}[/tex]
Mais [tex]\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \leqslant \frac{2}{16} \left(=\frac 1 8\right)[/tex]
Comparons [tex]\frac 1 8[/tex]  et  [tex]\frac{5}{36}[/tex] :

[tex] \frac 1 8 = \frac{9}{72}\;;\;\frac{5}{36} = \frac{10}{72}[/tex]
Les deux conditions trouvées sont donc incompatibles.
Donc, non, il n'y a pas 3 nombres différents.

@+