arithmétique

jazz24 · 10-04-2013 20:08:44

Bonjour,
Aux dires de notre respecté professeur de Mathématques, le matériel de secondaire suffit à résoudre, pour a, b et c entiers:
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{4}[/tex]

Dernière modification par yoshi (10-04-2013 20:55:18)

Roro · 10-04-2013 20:32:21

Bonjour,

Oui, et je dirai même qu'il suffit d'un peu de bon sens et juste de savoir ajouter des fractions !

Roro.

jazz24 · 11-04-2013 09:48:10

Je reconnais que j'en manque cruellement ... en fait je sèche sur cet "apéritif" mathématique ...
A part aboutir à ce qu'une somme de trois carrés soit le carré d'un entier pair je n'ai pas sorti grand chose de mes réflexions ...
Merci de me transfuser un peu de ce bon sens dont tu parles.
jazz24
P.S: merci yoshi d'avoir reformatté mon énoncé, j'avais rencontré certains "bugs" sous latex ...

Dernière modification par jazz24 (11-04-2013 12:33:36)

Fred · 11-04-2013 12:37:25

Salut,

Le bon sens, cela pourrait être de commencer par remarquer que l'une des constantes a,b,c doit être plus petite que 4, sinon....
Disons que cette constante, c'est a.
On peut alors lister les cas possibles : a=1, a=2, a=3,....

Fred.

freddy · 11-04-2013 13:09:39

Salut,

a plus petit que 2 même, non ? du coup, il ne reste pas grand chose à faire ...

Si, en fait, je sais : je pose[tex] b=c = +\infty [/tex] (ben oui, sûr que c'est possible ! ) et du coup [tex] a= 2[/tex] et j'ai la soluce !

;-)

Roro · 11-04-2013 13:13:40

Bonjour,

Pour continuer le raisonnement de Fred (et pas celui de Freddy :-p) je dirai que a=1 et a=2 ne me paraissent pas trop faisables (évidemment avec des entiers b et c finis !).

Roro.

Dernière modification par Roro (11-04-2013 13:14:04)

yoshi · 11-04-2013 13:22:30

Re,

2 lignes de code Python m'ont donné une seule solution...
Mais j'suis fainéant : la machine calcule plus vite que moi... ^_^

@+

Dernière modification par yoshi (11-04-2013 14:09:43)

Yassine · 11-04-2013 14:34:34

Je n'ai peut être pas les yeux en face des trous mais j'ai le raisonnement suivant :
[tex] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{4} \Longleftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \Rightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{a^2} > 0 \Longleftrightarrow a^2 > 4[/tex]. Donc les trois constantes doivent être supérieures à 2.
D'ailleurs, en faisant quelques tâtonnements (je cherchais les solutions du type [tex]a=b \times p[/tex] et [tex]a=c \times p[/tex]), je trouve une solution [tex]a=6, b=c=3[/tex], en effet [tex]\frac{1}{36}+\frac{2}{9}=\frac{81}{324}=\frac{1}{4}[/tex].

Dernière modification par Yassine (11-04-2013 14:36:41)

yoshi · 11-04-2013 15:08:26

Re,

Le langage Python permet de programmer des calculs de fraction formels et je confirme qu'il m'a donné le triplet (3,3,6).
Bien sûr il ne m'affiche pas la suite de calculs :
[tex]\frac 1 9+\frac 1 9+\frac{1}{36}+\frac{4 + 4 +1}{36}=\frac{9}{36}=\frac 1 4[/tex]
mais teste la validé de l'égalité :
Fraction(1,a**2)+\Fraction(1,b**2)+\Fraction(1,**2)==Fraction(1,4) pour des valeurs entières de a,b et c...
et dans ce cas je lui demande de m'afficher (a,b,c)
(** est la puissance en Python)

Ce n'est déjà pas si mal...

@+

Roro · 11-04-2013 15:41:42

Re,

Puisque la solution a été donnée, je vais donner mon raisonnement... et vous me direz à quel niveau scolaire on peut demander de savoir faire ça.

Etape 1 : on remarque que si a, b et c sont trop grands alors [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex] ne sera jamais assez grand pour faire [tex]\frac{1}{4}[/tex]... Plus précisément, si a, b et c sont supérieur ou égal à 4 alors [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \leq \frac{3}{16} < \frac{1}{4}[/tex].

Conclusion 1 : l'un des trois entiers est inférieur strictement à 4. Disons que cet entier est celui qui est noté a.

Etape 2 : D'après l'étape précédente, on a [tex]a=1[/tex], [tex]a=2[/tex] ou [tex]a=3[/tex]. Essayons [tex]a=1[/tex] : on aura [tex]\frac{1}{a^2}=1[/tex] qui est déjà trop grand... Essayons [tex]a=2[/tex] : [tex]\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}[/tex], il n'y aura plus de place pour b et c !

Conclusion 2 : [tex]a=3[/tex].

Etape 3 et 4 : je recommence. On sait maintenant que [tex]a=3[/tex]. On cherche donc b et c tel que [tex]\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{a^2} = \frac{5}{36}[/tex]. Si b et c sont supérieur ou égal à 4 alors on remarque que ça ne peut pas marcher ! Donc l'un des deux entiers b ou c vaut 3. Disons [tex]b=3[/tex].

Etape 5 : Connaissant a et b, on en déduit c par la formule [tex]\frac{1}{c^2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}[/tex]. On trouve [tex]c=6[/tex].

Ce n'est sans doute pas la méthode la plus élégante, peut être pas la plus simple...
Roro.

Fred · 11-04-2013 15:43:55

Roro a écrit :

Ce n'est sans doute pas la méthode la plus élégante, peut être pas la plus simple...
Roro.

Mais c'est aussi celle que j'avais!

Fred.

jazz24 · 11-04-2013 15:59:42

Fred et Roro, merci de votre aimable contribution à tous les deux.
Pas si élémentaire pour moi ... mais bon, je suppose qu'il s'agit d'une notion relative (!)
jazz24

sylphynx · 11-04-2013 15:59:46

sauf erreur

la solution a=b=c est impossible

toutes solutions telles que a=b et c=ap avec [tex]p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]
[tex]2.\sqrt {2p^2+1}\ -\ p\begin {bmatrix} \frac {2.\sqrt {2p^2+1}}{p} \end {bmatrix}\ =\ 0[/tex]
[tex]\sqrt {2p^2+1} \ \in \ \mathbb {N} [/tex]

où [...] désigne la partie entière

autres pas trouvé mais possibles

freddy · 11-04-2013 15:59:46

Salut,

en toute simplicité, pour en faire un sujet de classe de seconde, je l'aurais formulé ainsi :

On considère a, b et c trois entiers compris entre 1 et 10, non nécessairement distincts.

Montrez que l'équation [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{4}[/tex] n'admet qu'une seule solution.

Suggestions :

1 - on procèdera tout d'abord par éliminer des cas évidents. Par exemple, on vérifiera que les entiers 1 et 2 ne peuvent pas être solution de l'équation.

2 - on répondra ensuite à la question : pourquoi la solution a=b=c ne convient-elle pas ?

3 - Yoshi ?

Dernière modification par freddy (11-04-2013 16:18:03)

sylphynx · 11-04-2013 16:02:35

la demo pour toutes solutions telles que a=b et c=ap avec [tex]p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]
en fait on doit arriver à l'equation [tex]a^2p^2\ -\ 8p^2 -\ 4\ =\ 0 [/tex]

sylphynx a écrit :

sauf erreur
la solution a=b=c est impossible
toutes solutions telles que a=b et c=ap avec [tex]p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]
p divise [tex]2.\sqrt {2p^2+1}[/tex] et [tex]\sqrt {2p^2+1} \ \in \ \mathbb {N} [/tex]
autres pas trouvé mais possibles

Dernière modification par sylphynx (11-04-2013 18:15:27)

sylphynx · 11-04-2013 18:16:37

j'ai rectifié
c'est dingue comme j'aime bien tout compliquer
excusez

yoshi · 11-04-2013 18:44:29

Bonjour,

@freddy. D'accord, mais je mettrais ta Q2 en Q1.
J'ajouterais ensuite une question supplémentaire : montrer qu'il ne peut y avoir 2 nombres parmi a, b et c supérieurs ou égaux ou 4.
Niveau 2de et maîtrise du jeu avec les inégalités requises plus raisonnement par l'absurde. Pas totalement évident...
Ayant montré que 1 et 2 ne conviennent pas, et qu'il ne peut y avoir deux nombres supérieurs ou égaux à 4, la suite arrive plus facilement...

@sylphynx
1. Tu cherches une solution telle que a = b. Après recherche exhaustive via la programmation,
a) Soit que a = b est une condition nécessaire pour obtenir la réponse,
b) Soit poser comme base d'étude d'abord la recherche avec a = b ensuite la recherche avec [tex]a \neq b[/tex]
2. Tu poursuis en posant que c=ap. Là encore, après recherche exhaustive via la programmation, la supposition s'avère exacte.
Sur quoi bases-tu ta supposition ?
Pourquoi c est-il nécessairement un multiple de a ? Et pas n'importe quel nombre non premier non multiple de a ?
Et pourquoi n'y aurait-il pas de solution où a, b et c sont des nombres premiers ? ou premiers entre eux ?
3. Tu écris :

où [...] désigne la partie entière

La partie entière de quoi ?
Et je n'ai trouvé nulle part dans tes deux posts la mention [..]

@+

sylphynx · 11-04-2013 18:57:23

bonjour yoshi excuse moi
te donnerai la demo tout à l'heure je te donne juste ce que j'ai trouvé

sinon oublie mes histoires de parties entieres c'est que je copie bêtement mon brouillon

voilà où j'en étais

des solutions telles que a=b et c=ap avec [tex]p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]

existent si et seulement si :

p divise [tex]2.\sqrt {2p^2+1}[/tex]

et

[tex]\sqrt {2p^2+1} \ \in \ \mathbb {N}[/tex]

bon apres une fois qu'on a trouvé un p alors trouver a=b c'est facile puisque ça ramene a rechercher une racine à une equation du second degré

voilà bon je dit ça maintenant au cas où parce que je m'embrouille à mort des fois alors comme ça c'est dit clairement

bon la demo tout à l'heure excuse moi yoshi je voudrais ecouter ma zic
c'est tellement bien la musique

Dernière modification par sylphynx (11-04-2013 18:58:39)

sylphynx · 11-04-2013 20:28:30

sauf erreur
en fait j'ai pas fait grand chose puisque il manque beaucoup de cas non fais encore or j'en ai fait que deux(les deux premiers)

on recherche des solutions a,b,c relatifs non nuls tels que
[tex]\frac {1}{a^2}\ +\ \frac {1}{b^2}\ +\ \frac {1}{c^2}\ =\ \frac {1}{4} [/tex]

alors du plus simple au plus difficile
on recherche
pour a=b=c
pour a=b et c = ap avec [tex] p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]
pour a=b et [tex] c\ \neq a \ [/tex] et c divise a
pour a=b et [tex] c\ \neq a \ [/tex] et c n'est pas un multiple de a ni ne le divise et [tex]PGCD (a,c)\ \neq \ 1[/tex]
pour a=b et [tex] c\ \neq a \ [/tex] et [tex]PGCD (a,c)\ = \ 1[/tex]
pour [tex] a\ \neq \ b [/tex] et [tex] a\ \neq \ c [/tex] et [tex] b\ \neq \ c [/tex]
en cherchant des sous cas pour simplifier les recherches

je reviens pour la demo des deux premiers escuse yoshi

Dernière modification par sylphynx (11-04-2013 20:29:41)

sylphynx · 12-04-2013 08:36:27

sauf erreur

equation de depart :=
[tex]\frac {1}{a^2}\ +\ \frac {1}{b^2}\ +\ \frac {1}{c^2}\ =\ \frac {1}{4} [/tex]

cas n°1
a=b=c

equation de depart --->
[tex]\frac {3}{a^2}\ =\ \frac {1}{4} [/tex]
--->
[tex]{a^2}\ =\ 12 [/tex] impossible

cas n°2
pour a=b et c = ap avec [tex] p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]

equation de depart --->
[tex]\frac {2}{a^2}\ +\ \frac {1}{a^2p^2}\ =\ \frac {1}{4} [/tex]
--->
[tex]\frac {2p^2}{a^2p^2}\ +\ \frac {1}{a^2p^2}\ =\ \frac {1}{4} [/tex]
--->
[tex]8p^2\ +\ 4 =\ a^2p^2 [/tex]
--->
[tex] a^2p^2\ - 8p^2\ -\ 4 =\ 0 [/tex]
on recherche les racines de a
le discriminant [tex] \Delta \ =\ -4p^2( - 8p^2\ -\ 4 )\ =\ 16p^2(2p^2+1) [/tex]
[tex] \sqrt {\Delta } \ =\ 4p\sqrt {2p^2+1} [/tex]

la seule racine positive est

[tex] a\ =\ \frac {\sqrt {\Delta }}{2p^2} \ =\ \frac {2\sqrt {2p^2+1}}{p}[/tex]

donc le cas n°2 pour a=b et c = ap avec [tex] p \ \in \ \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]

les solutions existent si et seulement si :

p divise [tex]2.\sqrt {2p^2+1}[/tex]

et

[tex]\sqrt {2p^2+1} \ \in \ \mathbb {N}[/tex]

je crois que l'on peut demontrer que p=2 est la seule solution possible

@+

yoshi · 12-04-2013 09:46:03

Bonjour,

Nan, nan, pas d'excuses à fournir, chacun gère son temps et ses interventions comme il le peut...
Bon, alors, on dit souvent :"La critique est facile, l'art est difficile".
Donc je m'y colle.
Je vous propose cette approche (sans brouillon autre que ma tête cette nuit) que je pense originale.

Considérons les 3 entiers a, b et c.
Ils doivent être supérieurs à 2 :
Si l'un d'entre eux est égal à 1 la somme est supérieure à 1/4 et si l'un d'entre eux est égal à 2, également.
Soit ils sont tous égaux, soit ils sont tous différents, soit deux d'entre eux sont égaux
1. Peut-on avoir a = b = c ?
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac 1 4 \Leftrightarrow \frac{3}{a^2} = \frac 1 4[/tex]
Soit a² = 12. Impossible.
2. Sont-ils tous trois différents ?
Posons a < b < c
On a donc [tex]\frac{1}{c^2}<\frac{1}{b^2}<\frac{1}{a^2}[/tex]
et en conséquence en majorant la somme :
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}< \frac{3}{a^2} [/tex]
D'où [tex]\frac 1 4 < \frac{3}{a^2}[/tex] et [tex]a^2>12[/tex], donc [tex]a^2\geqslant 16[/tex]
Soit[tex] a \geqslant 4[/tex]
Or, on a posé a < b < c.
Donc [tex]4 \leqslant a < b < c[/tex] soit [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}< \frac{3}{16} < \frac{4}{16} \left(=\frac 1 4\right)[/tex]
Donc Non.
3. Si les 3 nombres ne sont pas égaux et qu'ils ne sont pas tous 3 différents, c'est que deux d'entre eux sont égaux.
Vu que a, b, c sont "interchangeables", je pose a = b.
L'équation s'écrit alors (par exemple) [tex]\frac{2}{a^2}+\frac{1}{c^2} = \frac 1 4[/tex]
On en déduit que [tex]\frac{2}{a^2} < \frac 1 4[/tex] qui équivaut à [tex]\frac{1}{a^2} < \frac 1 8[/tex] ou encore [tex] a^2 > 8[/tex] soit encore [tex]a \geqslant 3[/tex] ce qui ne m'avance pas beaucoup...
.
Le seuil 4 revenant souvent, peut-on avoir [tex]a= b \geqslant 4[/tex] ? ou encore [tex]\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}\leqslant \frac{1}{16}[/tex] ?
Si oui, puisque [tex]\frac{2}{a^2}+\frac{1}{c^2} = \frac 1 4[/tex] alors en majorant : [tex]\frac{2}{a^2}+\frac{1}{c^2}\leqslant \frac 1 8+\frac{1}{c^2}[/tex]
Et [tex]\frac 1 4 \leqslant \frac 1 8+\frac{1}{c^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{c^2} \geqslant \frac 1 4 - \frac 1 8[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{c^2} \geqslant \frac 1 8[/tex] d'où [tex]c^2 \leqslant 8[/tex]
Le seul carré supérieur à 2 et qui convienne est 4 d'où c = 2 qui est impossible.
Les deux valeurs égales a et b sont supérieures à 2 et inférieures à 4 sont donc égales à 3.
Et on en déduit c = 6

Sauf erreur comme dirait freddy et comme j'ai tout fait à vue de nez, même si je me suis relu plusieurs fois, nul n'étant à l'abri...
@+

Dernière modification par yoshi (12-04-2013 10:02:50)

jazz24 · 12-04-2013 10:09:19

Merci à tous de nouveau , j'ai beaucoup appris (de nouveau sur ce site) et je suis content qie vous ayiez tant contribué à ce "sujet élémentaire"
jazz24

sylphynx · 12-04-2013 10:18:00

jazz24 a écrit :

Merci à tous de nouveau , j'ai beaucoup appris (de nouveau sur ce site) et je suis content qie vous ayiez tant contribué à ce "sujet élémentaire"
jazz24

Bonjour Jazz24 franchement pas de quoi vu que
élémentaire en fait pas pour moi
les maths sont comme un aimant
un aimant les maths est comme un aimant
on a pas le choix
soit on est attiré pôles +-
soit on est effrayé pôles ++ ou --

merci yoshi je vois que tu a fait tous les cas
j'ai vite lu mais merci c'est efficace le a,b,c tous différents je serai parti sur une prise de tête
Alors chouette à toi

Dernière modification par sylphynx (12-04-2013 10:18:52)

Yassine · 12-04-2013 11:04:01

yoshi a écrit :

D'où [tex]\frac 1 4 < \frac{3}{a^2}[/tex] et [tex]a^2>12[/tex], donc [tex]a^2\geqslant 16[/tex]
Soit[tex] a \geqslant 4[/tex]
@+

Petite coquille : [tex]\frac 1 4 < \frac{3}{a^2}[/tex] et [tex]a^2<12[/tex], donc [tex]a^2\leqslant 9[/tex]
Soit [tex] a \leqslant 3[/tex]

yoshi · 12-04-2013 11:14:09

Re,

Flûte, ça m'a échappé...
Nan, c'est pas une coquille mais une bourde !
Je dois donc repenser ce morceau...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-04-2013 20:08:44

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#2 10-04-2013 20:32:21

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