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Yassine

Invité

Aide sujet Oral X/ENS 2008

Bonjour à tous,
Je sèche un peu sur un exo que m'a donné mon fils (mes souvenirs sont donc un peu vieux) et j'aurais besoin de votre aide.
L'exercice initial est le suivant :
soit [tex](u_n)[/tex] une suite positive strictement décroissante telle que la série de terme général [tex]u_n[/tex] converge vers un réél [tex]S[/tex] strictement positif. Quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire [tex](u_n)[/tex] pour que tout réél dans [tex]]0,S][/tex] puisse s'écrire comme une série extraite : [tex]\forall x \in ]0,S], x=\sum_{0}^{+\infty} u_{\phi(i)}[/tex] où [tex]\phi[/tex] est une application de [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] strictement croissante.

J'ai essayé deux démarches:
Je prends un [tex]x[/tex] donné et je trouve le premier terme de la suite qui lui est strictement inférieur, disons [tex]N_x[/tex] et je pose [tex]\phi(0)=N_x[/tex], je construit ensuite [tex]\phi[/tex] de proche en proche en m'assurant qu'à chaque étape, la somme partielle soit en dessous de [tex]x[/tex], c'est à dire, si [tex](\phi(i))_{i \leq N}[/tex] est construit et vérifie [tex]\sum_{i=0}^{N} u_{\phi(i)} < x[/tex], je vais chercher un indice [tex]M[/tex] tel que [tex]\sum_{i=0}^{N} u_{\phi(i)} + u_M < x[/tex], c'est toujours possible car [tex]u_n \to 0[/tex], je pose ensuite [tex]\phi(N+1)=max(\phi(N)+1,M)[/tex].
Je cale ensuite pour trouver une condition pour que ma série extraite converge vers [tex]x[/tex] (je ne suis pas sûr que mon procédé soit bon, mon intuition est que la série, pour converger vers x, doit le faire par la gauche, et que, vu qu'elle est "suffisamment" grande pour converger sans extraction vers S, mon extraction a "des chances" de converger vers x).

L'autre démarche est un peu plus vaseuse. Grosso modo, j'équipe l'ensemble de toutes les fonctions [tex]\phi[/tex] avec une distance [tex]d(\phi_1,\phi_2)=\sup_N | \sum_{i=0}^N u_{\phi_1(i)} - \sum_{i=0}^N u_{\phi_2(i)} | [/tex]. Je considère ensuite la fonction [tex]\mathbb(S)[/tex] qui à tout [tex]\phi[/tex] associe la somme extraite [tex]\sum_{i=0}^{\infty} u_{\phi(i)}[/tex]. Je montre qu'elle est continue et puis je cale.

Bref, vous l'aurez compris, je suis presque au point de départ !

Si quelqu'un peut m'aider, soit en m'indiquant que je fais complètement fausse route, ou éventuellement m'indiquer la condition que doit remplir la suite.

Fred

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Re : Aide sujet Oral X/ENS 2008

Bonjour,

  Voici un exercice pas facile du tout (normal, si c'est un oral d'ENS!), mais que j'adore.
Le premier problème, c'est de trouver la bonne condition. On trouve assez vite qu'il n'est pas possible que la suite [tex](u_n)[/tex] tende trop vite
vers 0. Par exemple, si [tex]u_n=\frac{1}{3^n}[/tex], on se rend compte assez facilement que cela ne peut pas fonctionner. En effet,
imaginons que l'on choisisse un réel l très proche de 4/3 et que l'on souhaite l'écrire comme somme d'une série extraite.
Alors on va construire une somme de la forme [tex]1+\frac 1{3^2}+\dots[/tex], et ceci ne pourra jamais s'approcher très près de 4/3.
En partant de cet exemple, je me suis forgé la conviction que la bonne condition est :
[tex]\forall n\in\mathbb N,\ \sum_{k\geq n+1}u_k\geq u_n.[/tex]

Le plus facile est de prouver que cette condition est nécessaire. Si elle n'est pas vérifiée, soit [tex]n[/tex] un entier pour lequel elle n'est pas vérifiée et soit
[tex]l\in ]\sum_{k\geq n+1}u_k,u_n[ [/tex].
Alors je te laisse vérifier que [tex]l[/tex] ne peut pas être somme d'une série extraite de [tex](u_n)[/tex].

Prouver que la condition est suffisante me semble nettement plus difficile. Voici une méthode. Prenons [tex]l\in ]0,S] [/tex]. On va construire par récurrence des éléments [tex]\varepsilon_k\in\{0,1\}[/tex] de sorte que, en posant [tex]S_n=\varepsilon_0 u_0+\dots+\varepsilon_n u_n[/tex], on ait pour tout entier
[tex]n[/tex] la double inégalité [tex]0<l-S_n<\sum_{k\geq n+1}u_k[/tex].

Voici comment initialiser la récurrence. Si [tex]u_0\geq l[/tex], on pose [tex]\varepsilon_0=0[/tex], sinon on pose [tex]\varepsilon_0=1[/tex]. On vérifie
que dans les deux cas, on a bien l'inégalité demandée.

Supposons la construction faite jusqu'à l'ordre n, et effectuons-la à l'ordre n+1. On pose [tex]l_n=l-S_n[/tex]. Si i [tex]u_{n+1}\geq l_n[/tex], on pose [tex]\varepsilon_{n+1}=0[/tex], sinon on pose [tex]\varepsilon_{n+1}=1[/tex]. En utilisant que
[tex]l-S_{n+1}=l-S_n-\varepsilon_{n+1}u_{n+1}[/tex], on vérifie que la propriété est encore vraie au rang n+1.

En conclusion, la série [tex]\sum_{k\geq 0}\varepsilon_k u_k[/tex] converge vers l. Une infinité de [tex]\varepsilon_k[/tex] doit être non-nulle,
à cause de l'inégalité [tex]l-S_n>0[/tex]. C'est donc bien une série de la forme [tex]\sum_{k\geq 0}u_{\phi(k)}[/tex].

Fred.

Yassine

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Re : Aide sujet Oral X/ENS 2008

Bonjour Fred,
Merci pour la solution, c'est très élégant.
J'avais à un moment considéré le reste de la série, mais je n'ai pas eu la bonne intuition.
Pour la preuve que la condition est nécessaire, c'est en effet très simple (vu que [tex]l < u_n < u_{n-1} < \ldots < u_0[/tex], il est obligatoire que la somme extraite commence à un indice supérieur à [tex]n[/tex] sinon, elle serait supérieure à [tex]u_n > l[/tex], donc [tex]\phi(0) > n[/tex], par ailleurs [tex] l > \sum_{k \geq n+1}u_k \geq \sum_{k, \phi(k)\geq n+1}u_{\phi(k)}[/tex], CQFD).

P.S. J'imagine que pour la somme géométrique, tu voulais parler de [tex]\frac{3}{2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}[/tex]

totomm

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Re : Aide sujet Oral X/ENS 2008

Bonjour,

Pour cet oral, où l'on peut montrer que l'on tâtonne un peu avant de trouver,
j'aurais placé des Sommes successives des u_n  et S sur un axe croissant
et j'aurais intuitivement considéré [tex]x\in]0, u_0][/tex] pour "voir (!?)" que la condition cherchée pour cet intervalle est [tex]\sum_{k\geq 0}u_k\geq u_0[/tex]
et j'aurais raisonné ensuite par récurrence pour chaque intervalle [tex]]u_n, u_{n+1}][/tex]
Acceptez-vous la démarche ? ("voir" suivi de "démontrer" bien sûr)

Fred

Administrateur

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Re : Aide sujet Oral X/ENS 2008

Acceptez-vous la démarche ? ("voir" suivi de "démontrer" bien sûr)

Du moment que la démonstration finale est correcte!