Logarithmes Népérien... (Jycomprendsrien)

KStoned · 29-03-2013 19:58:06

Bonjour à tous. Je viens vous voir car je suis en détresse totale. J'espère que vous pourrez m'aider !
Une amie m'a demandé de l'aide en Maths car je me débrouille... Sauf que les ln(x) c'est pas mes amis.

Voilà la fonction à travailler:

f(x) = -(lnx)² + 4ln(x)

Bon, pour la dérivée, ça a été. J'ai appliqué les règles et je me retrouves avec: f'(x) = 4-2ln(x) / x

Maintenant, petit bordel.

On me demande de résoudre l'équation f(x) = 3.

Je change la notation, ce qui me ramène à
-X² + 4X = 3
-X² + 4X - 3 = 0

Delta: 4
Racine: 2
x' = 1
x" = 3

La seule solution possible avec ce raisonnement est 3, car ln(1) = 0.
Sauf qu'à la calculatrice, le résultat c'est bien 3, mais avec PLEIN de chiffres derrière la virgule.

Ai-je raison ? Tort ? J'aimerai avoir une réponse d'expert.

C'est pareil, on me demande de calculer f'(e²)... J'me retrouve avec: (4 - 2ln(e²)) / e²
Je fais quoi du e² en dessous ?
Et puis je suis paumé avec les Exp :-(

Je voudrai faire: (4-2*2) / e², ce qui donnerait 0 / e². Ça doit pas être ça.

Merci pour la lecture, j'espère avoir été assez clair. J'ai le cerveau qui fume ^^

BAKARY NDIAYE · 29-03-2013 21:12:44

bonsoir je Suis eleve de TS tout comme toi

effectivement on a deux solutions 3 et 1 y a pas de probleme //

pour l otre maintenant il faut savoir que[tex]ln(e)=1[/tex] et [tex]ln(e^2)=2[/tex] apres tu saura continuer ////

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (29-03-2013 21:17:35)

yoshi · 29-03-2013 22:00:37

Bonsoirn

Attention aux notations !!!

Je change la notation, ce qui me ramène à
-X² + 4X = 3
-X² + 4X - 3 = 0
Delta: 4
Racine: 2
x' = 1
x" = 3
La seule solution possible avec ce raisonnement est 3, car ln(1) = 0.
Sauf qu'à la calculatrice, le résultat c'est bien 3, mais avec PLEIN de chiffres derrière la virgule.

1. Je ne sais pas ce que tu as bricolé à la calculatrice... Quel modèle N Résout-elle les équations du 2nd degré toute seule ?
La calculatrice (logiciel de calcul formel) libre et gratuite WxMaxima interrogée, dit :

(%i1) solve([-x^2+4*x-3], [x]);
(%o1) [x=3,x=1]

Et de toute façons, pas de besoin de discriminant --> -1+4-3 = 0 donc solution évidente 1 (c'est comme ça que ça s'appelle)
L'équation [tex]-x^2+4*x-3 = 0[/tex] équivaut à [tex]x^2-4x+3 = 0[/tex] qui se factorise donc ainsi [tex](x-1)(x-b) = 0[/tex]
On a donc b = 3
Ta calculette affiche probablement un résultat approché du type 3,0000xyz... où xyz sont des chiffres.
Si oui, et si ta calculette n'a pas de programme spécifique pour résoudre ce type d'équations, l'explication pourrait être que le résultat calculé est stocké dans un nombre décimal (et non entier) et que les calculettes 'et les ordis rencontrent des problèmes de représentation des décimaux).
Si je demande le calcul de 1,02-1,01 au langage de programmation Python voilà sa réponse : 0.010000000000000009
Si j'écris print 1,02-1,01 je retrouve 0,01...
Qu'as-tu fait exactement ?

2. Je ne vois pas le pourquoi de ton calcul de [tex]\ln(1)[/tex]... Explique !
3. Je pense que tu as voulu écrire X'=1 et X" = 3 et non x' = 1 et x"=3...

Minuscule ou majuscule, qu'est-ce que ça change ?
Bin, tu as posé [tex]\ln(x)=X[/tex]
Il te reste encore à résoudre deux équations :
[tex]\ln(x)=1[/tex] et [tex]\ln(x) = 3[/tex]
Entre [tex]\ln (x)[/tex] et [tex]e ^x[/tex], c'est une grande histoire d'amour, ce sont deux fonctions réciproques :
[tex]\ln(e^x)=x[/tex] et [tex]e^{\ln(x)}=x[/tex]...

Vois-tu où je veux en venir ?

@+

Dernière modification par yoshi (29-03-2013 22:01:23)

KStoned · 29-03-2013 22:02:37

Hello,
Pour la partie 1 c'est bon donc.

En fait, on me demande de déterminer graphiquement le f'(e²)... Mais j'en ai aucune idée, c'est pourquoi je suis passé par le calcul.

Donc, si vraiment je ne me suis pas trompé (j'ai retourné le truc dans tous les sens), on me demande grosso modo de déterminer quand la courbe s'annule ? Puisque, de toute façon, avec le calcul de la dérivée je tombe sur f'(e²) = 0...
Ça m'a l'air trop bizarre pour être vrai en fait. C'est con mais ça a toujours été mon problème en maths..

Roro · 29-03-2013 22:06:02

Bonsoir KStoned,

Concernant la première question, l'équation du second degré que tu obtiens a bien les deux solutions [tex]X=1[/tex] et [tex]X=3[/tex], mais il ne faut pas oublier que tu a fait un changement de variable [tex]X=\ln(x)[/tex]. Les solutions de ton équation initiale sont donc [tex]x=e[/tex] et [tex]x=e^3[/tex] (je ne vois pas trop le lien avec " 3 avec plein de chiffres après la virgule" !)

Pour la seconde question, tu as raison, on utilise effectivement que [tex]\ln(e^2) = 2[/tex].

Roro.

P.S. Je vois que Yoshi m'a devancé... et de façon sans doute moins "concise" !

yoshi · 29-03-2013 22:22:53

Re,

Pourquoi douter ?
Un peu de confiance dans ses calculs ne peut nuire...
Oui, [tex]f'(e^2) = 0[/tex]
Quant à déterminer graphiquement [tex] f'(e^2)[/tex], ça me paraît très difficile !
Très difficile d'affirmer [tex]f'(e^2) = 0[/tex], tout ce qu'on peut dire c'est [tex]f'(e^2)\, \#\, 0[/tex] pas très loin de 0...
Car enfin [tex]e^2\approx 7.38905609893[/tex], comment lire ça avec certitude sur un graphique ?

S'il y a une astuce, elle m'échappe ce soir... e² étant un nombre réel au nombre de décimales illimité !
Bizarre...
Rien avant ?
Tu n'as rien oublié ?

@+

[EDIT]
T'as raison, Roro, j'suis un grand bavard ! ^_^

Dernière modification par yoshi (29-03-2013 22:26:26)

KStoned · 29-03-2013 23:10:35

Hello, merci à tout les deux pour votre intervention !!

Alors pour tout vous expliquer... J'me suis planté en fait. XD

Effectivement, j'avais fais un changement de notation. Et comme d'habitude, j'oublie de re-transformer par la suite. Donc, effectivement, les résultats sont donc bel et bien [tex]x = e[/tex] et [tex]x = e^3[/tex]
Petite erreur de ma part.

Le fait que je trouve 3 et des cacahuètes, c'est juste que j'ai retapé le calcul entier en remplaçant le [tex]x[/tex] dans la fonction de base par 3 & 1.

Ensuite, pour déterminer graphiquement f'(e²), j'ai un graphique qui va avec tout ça. C'était juste pour être sûr ! :)

En tout cas merci à vous deux. À force de trop réfléchir je m'étais embrouillé tout seul, mais vous m'avez rafraîchi tout ça.

Par contre, dernière petite question: on me demande de démontrer que la fonction admet un maximum. J'ai une petite idée via la tangente, mais pas sûr que c'est ce qu'on me demande vraiment...

yoshi · 29-03-2013 23:37:56

Salut,

J'étais couché et d'un coup ça m'est venu, alors me rev'la !
Ayé ! J'ai le chaînon manquant...

[tex]f'(e^2)[/tex] c'est la valeur de la dérivée de [tex]f(e^x)[/tex] quand x = 2...
Si je choisis la fonction g telle que [tex]g(x)=f(e^x)[/tex] alors j'ai [tex]g'(2)= f'(e^2)[/tex]
Donc [tex]g(x)= -(\ln(e^x))^2+4\ln(e^x) = -x^2+4x[/tex]
D'où [tex]g'(x)=-2x+4[/tex]
Et si je trace la droite représentative de la fonction g, je vois qu'elle passe par 0 pour x = 2 (le calcul le confirme, mais c'est inutile), nombre entier.
D'où g'(2) = 0 et donc on sait donc graphiquement que [tex]f'(e^2)=0[/tex]

Lorsque la fonction dérivée s'annule, la fonction, elle, passe par un extremum : maximum ou minimum...
Pour choisir entre les deux et dire que c'est un maximum pas un minimum, il faut prouver qu'avant la valeur qui annule la fonction dérivée (ici [tex]e^2[/tex]), la fonction elle est croissante et qu'après elle est décroissante, donc que le signe de la dérivée est + puis -.
C'est assez simple à faire.
Il va te falloir tenir compte que le domaine de définition de la fonction est [tex]]0\;;\;+\infty[[/tex]
Seules les valeurs strictement positives seront à prendre en compte.

Ça te va ?

@+

KStoned · 29-03-2013 23:40:14

Entièrement ! Merci beaucoup !

Bonne fin de nuit :-)

Roro · 30-03-2013 08:08:07

Bonjour,

Toute petite correction concernant le dernier message de Yoshi : la dérivée de [tex]x\mapsto f(e^x)[/tex] est [tex]f'(e^x)\times \boldsymbol{e^x}[/tex], mais elle s'annule bien si et seulement si [tex]f'(e^x)[/tex] s'annule... (en reprenant les notations précédentes, [tex]g'(2) = f'(e^2)\times \boldsymbol{e^2}[/tex]

Roro.

yoshi · 30-03-2013 10:40:04

Salut Roro,

Exact !
C'étaient les limbes du sommeil qui se faisaient insistantes et qui ont occulté en partie mes facultés...
Bon, je te trouve trop "concis" parce que là tu abordes un point qui risque d'échapper à un certain nombre (il m'a bien échappé hier soir à moi !) : je m'en vais donc expliciter ce que tu as dit.
1. La fonction f est celle qui est définie par l'énoncé. Pas de changement.
2. Je pose [tex]g(x)=f(e^x)=-x^2+4x[/tex]. J'ai donc bien [tex]g'(x)=-2x+4[/tex]
3. g'(x) s'annule bien pour x = 2
4. J'ai eu tort d'écrire [tex]g'(x)=f'(x)[/tex]. Je devais écrire [tex]g'(x)=[f(e^x)]'[/tex]
Je désigne par exp la fonction exponentielle.
J'ai donc [tex]g(x) = (f \circ exp)(x)[/tex].
En conséquence le cours nous apprend que [tex]g'(x)= (f' \circ exp)(x)\times exp(x) = f'(e^x)\times e^x[/tex]

Et comme [tex]f'(x) = \frac{4-2\ln(x)}{x}[/tex] précédemment calculé, alors [tex]f'(e^x) = \frac{4-2x}{e^x}[/tex]
Et on retrouve bien [tex]f'(e^x)\times e^x=\frac{4-2x}{e^x} \times e^x = 4-2x=g'(x)[/tex]
[tex]g'(x)=4-2x[/tex] s'annule bien pour x =2, c'est visible sur un graphique.
Et comme [tex]e^2 \neq 0[/tex], alors [tex]f'(e^x)= \frac{4-2x}{e^x}[/tex] s'annule aussi pour x = 2, alors f'(x) s'annule bien pour [tex]x=e^2[/tex]
En fait, hier soir, après avoir écrit ma "trouvaille", j'avais été tenté de recommencer en me passant de g qui n'était peut-être pas vraiment indispensable....
Si ce n'avait été qu'un problème de calcul, alors oui, j'aurais dû m'abstenir.
Vu la demande de détermination graphique de [tex]f'(e^2)[/tex], il m'est venu à l'idée de remplacer le tracé d'une fonction dérivée par une autre. Ce qui a mis en lumière, malgré moi, ce point précis du cours...
Je me demande d'ailleurs si cette méthode qui engendre aussi des calculs est bien la réponse à la question : je ne suis pas totalement satisfait... Une autre idée ?

@+

[EDIT]
Au fait, dans ton post #6, il n'était pas vraiment indispensable de donner les solutions [tex]x=e[/tex] et[tex] x=e^3[/tex] s'pas ? ;-)
J'ai renoncé à te le signaler hier soir, préférant ne pas introduire un "bruit de fond" dans la résolution.
Notre ami avait montré qu'il était de taille à les trouver seul...

Dernière modification par yoshi (30-03-2013 10:51:02)

KStoned · 30-03-2013 13:29:57

Yop,

yoshi je t'avoue que je suis paumé dans tes explications. M'enfin, c'est pas grave ! ;)

Voilà le graph que j'avais dans l'exercice. Je comprenais pas en fait pourquoi f'(e²) valait 0... Mais en fait, il vaut vraiment 0.

En tout cas merci à vous deux.

Par contre concernant le maximum... Je dois faire un tableau de variation, je l'ai bien compris. Mais je dois calculer la réponse pour f'(x) = 0, c'est bien ça ?

Comme ça j'obtiendrai le maximum easy. Enfin je pense.

Dernière modification par KStoned (30-03-2013 13:31:36)

yoshi · 30-03-2013 14:02:24

Salut,

Un extremum (maximum ou minimum) en un point est atteint lorsqu'en ce point la dérivée est nulle (tangente horizontale à la courbe en ce point).
Pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, il faut déterminer le sens de variation de la fonction de part et d'autre de ce point.
La détermination du sens de variation découle du signe de la dérivée...
Si on a : - 0 + c'est un minimum puisque la fonction est décroissante, sa dérivée s'annule, puis la fonction croît,
Si on a : + 0 - c'est un maximum puisque la fonction est croissante, sa dérivée s'annule, puis la fonction décroît.
Suis-je clair ?
Tout ça se traite généralement via un "tableau de variation" (appellation officielle), oui.
Ici ce n'est pas vraiment la peine...
En effet :
1. Ainsi que je l'ai dit [tex]x\in ]0\;;\;+\infty[[/tex] donc x >0 toujours +
2. La dérivée [tex]f'(x) = \frac{4-2\ln(x)}{x}[/tex] est donc toujours du signe de [tex]4-2\ln(x)[/tex] et s'annule pour [tex]x = e^2[/tex]

As-tu pigé ?

Concernant le fait que tu sois paumé dans mes explications (pas celle de Roro ?), il m'avait échappé hier soir que :
[tex] x \xrightarrow{\;f\;}-(\ln(x))^2+4\ln(x)[/tex] est une fonction simple,
[tex] x \xrightarrow {f\,\circ\, exp} -(\ln(e^x))^2+4\ln(e^x)=-x^2+4x[/tex] est une fonction composée. [tex]x \xrightarrow{exp} e^x \xrightarrow{\;f\;} -(\ln(e^x))^2+4\ln(e^x)=-x^2+4x[/tex]

Le symbole de composition des fonctions est le "rond" : [tex]g\,\circ\, f[/tex] se lit "gé rond f"
Autre exemple de fonction composée :
Je pose [tex]f : x \mapsto 1+x^2[/tex]
Je pose g : [tex] x \mapsto \sqrt x[/tex]
Je compose f suivie de g : [tex]x \xrightarrow{f} 1+x^2 \xrightarrow{g} \sqrt{1+x^2}[/tex]

@+

KStoned · 30-03-2013 14:19:27

Ah oui, d'accord. C'est tout bon !

Merci beaucoup à vous deux :)
À bientôt, j'espère, pour de nouveaux problèmes haha.

@++

yoshi · 31-03-2013 22:39:36

Bonsoir,

Des heures plus tard....
Je suis toujours tourmenté par cette question, mais je pense que cette fois, je tiens le bon bout.
Cette fonction g que j'ai introduite n'était pas nécessaire du tout.

A relire l'énoncé, je constate que celui-ci ne dit pas :
Déterminez graphiquement la valeur de [tex]f'(x)[/tex] au point d'abscisse [tex]x = e^2[/tex]
mais bien
Déterminez graphiquement[tex]f'(e^2)[/tex] (pour autant que la formulation de kstoned soit la bonne)

En conséquence, je suis fondé à lire cette question ainsi:
Déterminez graphiquement la valeur de [tex]f'(e^x)[/tex] au point d'abscisse [tex]x = 2[/tex].

Avec [tex]f'(x) = \frac{4-2\ln(x)}{x}[/tex] précédemment calculé, on obtient [tex]f'(e^x) = \frac{4-2x}{e^x}[/tex]
Et le tracé de la courbe représentative de [tex]f'(e^x)[/tex] montre que [tex]f'(e^2)=0[/tex]
.

@+

Dernière modification par yoshi (01-04-2013 07:01:52)

KStoned · 02-04-2013 17:14:27

Ah oui, c'est plus clair comme ça. Merci yoshi :)

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