Fortement mesurable

vrouvrou · 20-03-2013 16:27:43

Bonjour,

J'ai cette définition :
Si [tex](T,\mathcal{A})[/tex] est un espace mesurable, et $U$ un espace métrique, on dit que [tex]f : T\rightarrow U[/tex] est (fortement) mesurable si une des propriétés suivante est satisfaite :
1. [tex]f[/tex] est [tex](\mathcal{A},\mathcal{B}(U))[/tex]-mesurable et [tex]f(T)[/tex] est séparable
2. [tex]f[/tex] est la limite point par point d'une suite de fonctions mesurables ( [tex]f[/tex] a un nombre dénombrable de valeurs dans [tex]U[/tex])
3. [tex]f[/tex] est la limite uniforme d'une suite de fonctions mesurables ( [tex]f[/tex] a un nombre dénombrable de valeurs dans [tex]U[/tex]).
Mais je n'arrive pas à démontrer l'équivalence, quelqu'un peut-il m'aider ?
S'il vous plait.
Merci

Dernière modification par yoshi (20-03-2013 16:28:33)

Fred · 20-03-2013 21:31:27

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que tu écris entre parenthèse...
Est-ce que c'est réellement [tex]f[/tex] qui prend un nombre dénombrable de valeurs dans U???

F.

vrouvrou · 21-03-2013 08:49:02

Peut etre que j'ai mal traduit ,
voici le texte original:
If [tex](T,\mathcal{A})[/tex] is measurable space, and [tex]U[/tex] a metric space , we say that [tex]f:T\rightarrow U[/tex] is (strongly) measurable if one of the following equivalent properties is satisfied:

> 1. [tex]f[/tex] is [tex](\mathcal{A},\mathcal{B}(U))[/tex]-measurable and [tex]f(T)[/tex] is separable

> 2. [tex]f[/tex] is the pointwise limit of a sequence of measurable functions assuming a countable number of values.

>3. [tex]f[/tex] is the uniform limit of a sequence of measurable functions assuming a countable number of values .

Fred · 21-03-2013 11:16:34

Re-

Effectivement, cela veut dire que [tex]f[/tex] est la limite (simple ou uniforme) d'une suite [tex](f_n)[/tex] où chaque [tex]f_n[/tex] prend un nombre dénombrable de valeurs.

Je te propose de démontrer [tex]3\implies 2\implies 1\implies 3[/tex].

Que sais-tu faire déjà dans ce schéma d'implications?

F.

vrouvrou · 21-03-2013 11:34:12

la convergence uniforme implique la convergence simple , pour 2 implique 1 : comme f est la limite d'une suite de fonction mesurable elle est mesurable , et pour f(T) séparable il faut prouver que la suite f_n est dense ! pour 1 implique 3 je ne sais pas encor
Merci pour votre aide

vrouvrou · 21-03-2013 15:01:03

pour 2 implique 1:
[tex]f[/tex] est mesurable car c'est la limite d'une suite de fonction mesurable .
[tex]f(T)[/tex] est séparable : on prouve qu'il contient une suite de fonction dénombrable et dense
puisque[tex] f(t)[/tex] est la limite dans[tex] U[/tex] de la suite [tex]f_n (t)[/tex] , l’adhérence de [tex]D=\bigcup f_n(T)[/tex] contient [tex]f(T)[/tex] : [tex]f(T) \subset D[/tex].
et D est dénombrable, [tex]D[/tex] est une partie séparable de[tex] U[/tex]. Il en résulte que [tex]f(T)[/tex] , sous-ensemble de [tex]D[/tex], contient
également une suite dense :[tex] f(T)[/tex] est séparable.
c'est juste ?
S'il vous plait ,
Merci.

Dernière modification par vrouvrou (21-03-2013 15:01:21)

Fred · 21-03-2013 15:09:49

Cela me semble plutôt pas mal...

vrouvrou · 21-03-2013 15:22:35

Cool!, donc il reste a prouver que si f est mesurable et que f(T) est séparable alors f est la limite uniforme d'une suite de fonction mesurable .
et je n'ai pas d'idées pour le moment !

vrouvrou · 21-03-2013 15:28:16

Si f(T) est séparable donc il contient une suite dense , mais comment continuer ?

Fred · 21-03-2013 20:33:54

Salut,

Je crois que c'est en fait assez délicat. Je vais te faire un schéma de preuve
qui a l'air de fonctionner. Soit [tex](u_n)[/tex] une suite dense dans [tex]f(T)[/tex].

Etape 1 : Prouver que [tex]\forall n\geq 1,\ f(T)=\bigcup_{k\geq 0}B(u_k,1/n)[/tex].

Etape 2 : On pose [tex]E_1=B(u_1,1/n)[/tex], puis, pour [tex]k\geq 2[/tex], [tex]E_k=B(u_k,1/n)\backslash E_{k-1}[/tex].
Alors [tex]\bigcup_{k\geq 0}E_k[/tex] est une partition de [tex]f(T)[/tex].

Etape 3 : Soit [tex]A_k=f^{-1}(E_k)[/tex], on définit [tex]f_n[/tex] sur [tex]A_k[/tex] comme la fonction constante égale à [tex]u_k[/tex].
Alors [tex](f_n)[/tex] est une suite de fonctions mesurables qui converge uniformément vers [tex]f[/tex].

F.

vrouvrou · 21-03-2013 22:52:45

Merci beaucoup
mais déjà l’étape 1 je sais pas comment la faire , alors la la 2éme ...

Fred · 22-03-2013 10:07:34

Prends [tex]x\in f(T)[/tex], et utilise que [tex](u_n)[/tex] est dense dans [tex]f(T)[/tex].

vrouvrou · 23-03-2013 09:52:43

Re,

je suis désolée pour le retard.
Soit [tex]x\in f(T)[/tex] donc il existe [tex]t\in T[/tex] tel que [tex]x=f(t)[/tex], donc [tex]x=f(t)\in U[/tex]
il faut prouver que [tex]\exists k ; d(u_k,x)<\frac1 n[/tex]
posons [tex]D=\lbrace u_n\rbrace_n[/tex] ,[tex]D_n=\lbrace u_1,..u_n\rbrace[/tex], soit k tel que k est le plus petit entier qui vérifie [tex]d(x,D_n)=d(x,u_k)[/tex]
mais après ,il me manque un truc je ne sais pas comment utiliser la densité de [tex] \lbrace u_n \rbrace[/tex]

Dernière modification par yoshi (23-03-2013 11:26:46)

Fred · 23-03-2013 12:19:44

Ecris simplement la définition de la densité de [tex](u_n)[/tex], avec des quantificateurs.

vrouvrou · 23-03-2013 14:19:15

en général on dit que D est dense dans U si pour tout élément u de U il existe une suite de D qui converge vers u
soit [tex]x \in f(T)[/tex] , [tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]x[/tex] , c'est a dire que pour tous [tex]n \in \mathbb{N}; d(x,u_n)< \frac1n[/tex]
donc [tex]\forall n \geq 1, x\in B(u_n,\frac1n)[/tex]
mais comment introduire [tex]k[/tex] ?

Fred · 23-03-2013 14:52:27

Salut,

[tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]x[/tex] ne signifie pas ce que tu as écrit!!!!

Fred.

vrouvrou · 23-03-2013 15:02:03

[tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]x[/tex] :[tex]\forall \varepsilon >0, \exists n_0 ,\forall n\geq n_0 d(u_n,x)<\varepsilon[/tex]

Dernière modification par vrouvrou (23-03-2013 15:03:10)

Fred · 23-03-2013 15:31:12

Oui, donc pour nous, on va choisir [tex]\frac 1n=\varepsilon[/tex] et [tex]k=n_0[/tex]

vrouvrou · 23-03-2013 16:04:21

Ah oui , c'est vraie .
Pour l’étape 2 pour quoi on enlève les[tex] E_{k-1}[/tex]?

Fred · 24-03-2013 20:07:37

Pour avoir des parties disjointes, et que les images réciproques soient aussi disjointes.
Sinon, on ne pourrait pas définir la fonction [tex]f_n[/tex].

F.

vrouvrou · 25-03-2013 08:05:06

OK, on doit prendre x de [tex]f(T)[/tex] et montrer que [tex]x[/tex] est un des [tex]E_k[/tex] ?

Fred · 25-03-2013 11:39:54

vrouvrou a écrit :

OK, on doit prendre x de [tex]f(T)[/tex] et montrer que [tex]x[/tex] est un dans l'un des [tex]E_k[/tex] ?

Oui, exactement.

vrouvrou · 25-03-2013 16:26:27

Soit [tex]x\in f(T)[/tex] on doit prouver qu'il existe [tex]k_0[/tex] tel que [tex]x\in E_{k_0}=B(u_{k_0},\frac1n)/E_{k_0-1}[/tex]
on a montrer que [tex]f(T)=\bigcup B(u_k,\frac1n)[/tex]
donc si x\in f(T), il existe k_0 tel que [tex]d(u_{k_0},x)<\frac1n[/tex], comme f(T) est séparable donc les boules sont disjointe ,donc [tex]x\notin E_{k-1}[/tex] !

Fred · 25-03-2013 17:24:00

vrouvrou a écrit :

comme f(T) est séparable donc les boules sont disjointe ,donc [tex]x\notin E_{k-1}[/tex] !

Je ne comprends pas!

vrouvrou · 25-03-2013 18:10:31

Moi aussi je viens de relire et je voies que ce n'est pas juste ! désolée pour ce n'importe quoi ...
mais là je doits utiliser quoi pour prouver que[tex] x\notin E_{k_0-1}[/tex]
s'il vous plait

Dernière modification par yoshi (25-03-2013 19:06:35)

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#1 20-03-2013 16:27:43

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