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jijiii

Invité

norme

Salut,
Soit[tex] f[/tex] une fonction mesurable à valeurs finies p.p. On pose [tex]N_0(f)=\displaystyle\int \dfrac{|f|}{1 + |f|} d \mu.[/tex]
Comment montrer que [tex]N_0[/tex] est une pseudo norme ? Dans le cours que je lis, c'est fait d'une manière que je ne comprends pas très bien.
1- Tout d'abord, c'est quoi la définition de 'pseudo norme' ? est-ce la même chose que 'semi-normé' ?
2- On vérifie que [tex]N_0 (\lambda f) = \lambda N_0(f)[/tex] pour tout [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] et pour tout [tex]f.[/tex]
[tex]N_0(f) = \displaystyle\int \dfrac{|f|}{\dfrac{1}{\lambda} + |f|} d \mu[/tex] pourquoi cette quantité peut être égale à [tex]\lambda N_0(f)[/tex] ?
3- Soit [tex]f[/tex] et soit [tex]g.[/tex] [tex]N_0(f+g) = \displaystyle\int \dfrac{|f+g|}{1 + |f + g|} d \mu \leq \in \dfrac{|f|+|g|}{1+ |f+g|}.[/tex] pour le dénominateur, [tex]1 + |f+g| \leq 1 + |f| + |g|[/tex] donc[tex] \dfrac{1}{1+|f+g|} \geq \dfrac{1}{1 + |f| + |g|}.[/tex] Ça n'aide pas à conclure que [tex]N_0 (f+g)\leq N_0(f) + N_0(g).[/tex] Comment faire dans ce cas ?
Merci.

Fred

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Re : norme

Salut,

  Je pense plutôt que l'on veut démontrer que [tex]d(f,g)=N_0(f-g)[/tex] est une distance invariante par translation.

Ce qui est clair, c'est qu'on n'a pas [tex]N_0(\lambda f)=|\lambda| N_0(f)[/tex].

Fred.

jijiii

Invité

Re : norme

salut Fred,
est-ce qu'on peut avoir que [tex]N(\lambda f) \leq \lambda N(f)[/tex]? et [tex]N(f+g) \leq N(f) + N(g)?[/tex] si oui comment stp? par mon message 1 je n'y suis pas arrivé. merci

Fred

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Re : norme

salut Fred,
est-ce qu'on peut avoir que [tex]N(\lambda f) \leq \lambda N(f)[/tex]?

Je ne crois pas, cela va dépendre de la position de [tex]\lambda[/tex] par rapport à 1...
pour pouvoir comparer [tex]1+|\lambda f|[/tex] et [tex]1+lf| [/tex]

et [tex]N(f+g) \leq N(f) + N(g)?[/tex] si oui comment stp? par mon message 1 je n'y suis pas arrivé. merci

Je crois que oui. Il suffit de prouver que, pour tous réels x,y, on a
[tex]\frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|} [/tex]

Il suffit de tout mettre au dénominateur pour voir si c'est vrai. Et le calcul que je viens de faire au brouillon semble indiquer que oui
(mais j'ai fait le calcul très vite).

F.

jijiii

Invité

Re : norme

Ok. Je trouve que [tex]N_0(0) = 0[/tex] et [tex]N_0(f) > 0[/tex] pour tout [tex]f[/tex] non identiquement nulle.
[tex]N_0(f+g) \leq N_0(f) + N_0(g)[/tex] et [tex]N_0(\lambda f) \leq N_0(f)[/tex] si [tex]-1 \leq \lambda \leq 1.[/tex]

Enfin, ils ajoutent dans le livre la condition suivante: si [tex]f \in L^0[/tex] alors [tex]\displaystyle\int \dfrac{|n^{-1} f|}{1+ |n^{-1} f| } d \mu [/tex] tend vers 0 quand n tend vers l'infini, d'après le théorème de convergence dominée, donc [tex]N_0(n^{-1} f)[/tex] tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Que veut dire cette dérnière condition? et est-ce que avec ca on peut conclure la définition d'une pseudo norme?

Fred

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Re : norme

Salut,

  C'est une sorte de continuité en 0 de [tex]N_0[/tex].
Il faudrait savoir ce qu'ils veulent dire par une pseudo-norme (ce n'est pas un terme standard....).

Fred.