Intervalle...une grande histoire

soso · 15-03-2013 12:13:21

Bonjour à tous,

je bloque pour la fin d'un exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé.

f(x)=x-1+(x²+2)[tex]e^{-x}[/tex]

1.Démontrer quepour tout x de [1;2]1<(ou =) f(x)<2

2.Démontrer que, pour tout x de [1;2] 0<f'(x)<[tex]\frac{3}{4}[/tex]

J'ai calculée la dérivée ça fait [tex]1-(x²-2x+2)e^{-x}[/tex]

3.En utilisant les variations de d: x->f(x)-x sur [1;2] montrer que f(x)=x a une unique sol dans [1;2]

Je ne sais pas comment m'y prendre. Dois je calculer f(1) f(2) et comparer? Mais est ce que je démontre quelque chose en faisant cela?

Merci d'avance!

yoshi · 15-03-2013 12:39:41

Coucou,

La question dit :
3. En utilisant les variations de [tex]d: x \mapsto f(x)-x\;\;\text{ sur}\;\; [1;2][/tex]
Si tu lis bien, la question dit : "En utilisant les variations de d"...
Donc tu dois trouver d'(x) à partir de d(x)=f(x)-x...

A partir du signe de d'(x), tu en déduiras les variations de d(x)=f(x)-x.

Commence déjà par là ...

@+

soso · 16-03-2013 10:21:53

Bonjour,

merci pour votre réponse!

Voici ma réponse :

[tex]h(x)=x-1+(x²+2)e^{-x}-x[/tex]
[tex]h(x)=-1+(x²+2)e^{-x}[/tex]

[tex]h'(x)=(-x²+2x-2)e^{-x}[/tex]

Tableau:

Conclusion: comme la fonction est strictement croissante et continu sur [1;2] h(x) a une solution
De plus l'intervalle image [tex][3e^-1-1;6e^-2-1][/tex] contient la solution
http://www.casimages.com/img.php?i=1303 … 372015.jpg

Dernière modification par soso (16-03-2013 10:22:42)

soso · 16-03-2013 10:25:26

Par contre, je ne vois pas comment on peut déduire que f(x)=x vu que h(x) et f(x) n'ont pas la même expression ni la même dérivé...

yoshi · 16-03-2013 10:38:02

Bonjour,

Conclusion: comme la fonction est strictement croissante et continu sur [1;2] h(x) a une solution
De plus l'intervalle image [3e−1−1;6e−2−1] contient la solution
http://www.casimages.com/img.php?i=1303 … 372015.jpg

Non, ça ne pas du tout et de plus on t'a demandé de montrer que la solution était dans [1 ; 2] !
Tu sautes trop vite aux conclusions et tu mélanges plein de choses.

Ce n'est pas la dérivée de f que tu as, mais celle de d :
[tex]d'(x) = (-x^2+2x-2)e^{-x}[/tex]
Quel est le signe de [tex]-x^2+2x-2[/tex] ?
Quel est le signe de [tex]e^{-x}[/tex] ?
Quel est le signe de d'(x) ?
Quel est le sens de variation de d ?

Après tu calcules d(1) et d(2)...
Qu'est-ce que tu remarques ?
(On va utiliser ensuite le théorème dit "des gendarmes")
Réponds déjà à ces questions.

@+

soso · 16-03-2013 10:53:08

Re,

[tex]-x²+2x-3[/tex]=0 quand [tex] x=1+\sqrt2[/tex] et quand [tex]x=1-\sqrt2[/tex].
Le signe est celui de a à l’extérieur des racines, c'est à dire négatif et positif entre les racines.(entre 1 et 2)

l'exponentielle est strictement positif sur [1;2]

Le signe de d'(x) est positif.

La fonction est donc croissante.

[tex]d(1)=3e^{−1}−1[/tex]
[tex]d(2)=6e^{−2}−1[/tex]
On remarque que d(1)>d(2)

Hum la fonction est donc décroissante ? Mais en étudiant les variations, je ne trouve pas cela...

yoshi · 16-03-2013 11:13:27

Re,

Niet !
Pas du tout...
As-tu tracé ta fonction d à la calculette pour voir si elle était bien croissante ? Non...
Reprenons...
[tex]-x^2+2x - 2 =0[/tex]
[tex]\Delta =(-2)^2 -4\times(-1)\times(-2)= 4-8 = - 4 < 0[/tex]
Alors ?
Alors, il te répondre à nouveau à ces questions :

yoshi a écrit :

Quel est le signe de [tex]−x2+2x−2[/tex] ?
Quel est le signe de e^{−x} ?
Quel est le signe de d'(x) ?
Quel est le sens de variation de d ?
Après tu calcules d(1) et d(2)...
Qu'est-ce que tu remarques ?
(On va utiliser ensuite le théorème dit "des gendarmes")
Réponds déjà à ces questions.

soso a écrit :

Hum la fonction est donc décroissante ? Mais en étudiant les variations, je ne trouve pas cela...

Oui, elle est décroissante...
Oui, avec l'étude, tu ne trouves pas cela... parce qu'elle (=ton étude) est fausse
Elle est fausse parce que ton discriminant est faux...
A partir de là tu es mal engagée...
Je précise ma question finale :
Tu as calculé d(1) et d(2) que remarques-tu ? Quels sont leurs signes ?

@+

soso · 16-03-2013 11:20:13

Ah oui...

Sinon pour répondre à votre dernière question:
[tex]3e^{-1}-1[/tex] est positif
[tex]6e^{-2}-1[/tex] est négatif ?

yoshi · 16-03-2013 11:23:44

RE,

Oui...
1. La fonction d est décroissante.
2. d(1) > 0 et d(2) < 0.
3. Quelle conclusion peux-tu donc en tirer pour d(x) pour [tex]x \in [1\;;\:2][/tex]

A te lire...

soso · 16-03-2013 11:27:57

Re,

d(x) est strictement décroissante sur [1;2] d(1)>d(x)>d(2) et a donc une unique solution d(x)=x.
On doit étudier la position relative de f(x)?

yoshi · 16-03-2013 11:53:26

Re,

a donc une unique solution d(x)=x.

Non !
Si d(1) >0 et que tu décrois régulièrement jusqu'à d(2) <0, par quelle valeur particulière passe obligatoirement, une seule fois, d(x) ?

@+

soso · 16-03-2013 12:21:12

Re,

Par d(x)=0?mais je ne vois pas trop où vous voulez en venir ..

yoshi · 16-03-2013 13:06:54

Re,

Par d(x)=0? mais je ne vois pas trop où vous voulez en venir ..

Oui, il y a forcément une valeur unique de x comprise entre 1 et 2 et telle que d(x) = 0
Ceci posé, tu ne vois pas, non pas où JE veux en venir, mais où l'énoncé veut en venir....
Prends un peu de hauteur, relis la fin de ton exercice, demande-toi quel est le rapport avec ce qui vient d'être dit !
Si tu relis tu vas t'apercevoir que
1. d(x)=f(x)-x
2. On veut montrer qu'il y a une valeur unique de [tex]x \in [1\;;\;2][/tex] telle que f(x) = x...
Pour ça, l'énoncé te fait passer par les variations de d...
Grâce à l'étude de ces variations, tu viens de t'apercevoir qu'il y a une valeur unique de [tex]x \in [1\;;\;2][/tex] telle que d(x) = 0... c'est à dire telle que f(x) - x = 0...
Allez encore un petit effort, relis la question et relis la phrase ci-dessus et tu pourras facilement répondre !
Si ! Si ! soso ! :-D je t'assure...

@+

soso · 16-03-2013 15:20:03

Ahhh je crois que j'ai compris !!!
Comme f(x)-x=0 <=> f(x)=x? Eh ben, m'empêche que c'était trèèèèèèèèèès long à faire...Surtout que la question est toute tite...:o)
Par contre le 1. ;2 il faut bien faire f(1) et f(2) et ensuite comparer?

yoshi · 16-03-2013 16:37:31

Salut,

Bientôt l'heure d'une petite collation après ces efforts intellectuels intenses !
Ahhh je crois que j'ai compris !!!

Comme f(x)-x=0 <=> f(x)=x?

Ouiuiiiiiiii !!!
Alors comment pouvais-tu "deviner" qu'il fallait faire comme ça ?
1. La question dit on prend d telle que d(x) = f(x)-x... Bon, d'accord, là tu n'apprends pas grand chose..
2. Ensuite on te dit "En utilisant les variations de d: x->f(x)-x sur [1;2]"...
Bon, bin, allons-y...
Pour les variations de d --> Calcul de la dérivée ---> signe de la dérivée (sans erreurs de calcul, hein !) --> sens de variation...
3. Tiens, elle est décroissante ! Vite, ma calculette, je trace la courbe C_d : bon pas d'erreur, elle est bien décroissante...
4. L'énoncé dit "sur [1 ; 2]" ! Bon, je zoome sur la zone et j'ouvre les yeux : y a sûrement quèquchos' à voir...
5. Ah tiens... Entre 1 et 2, la courbe traverse l'axe des x... ça veut dire qu'entre 1 et 2 il y a un x (et un seul) tel que d(x) = 0...
6. Ah ?!... Mais où veulent-ils donc en venir ? C'est quoi déjà d ? Ah oui, d(x) = f(x)-x et la question est "montrer que f(x)=x a une unique sol dans [1;2]"
7. d(x)=0 <=> f(x)-x = 0 <=> f(x)=x... Tout se met en place. Y a plus qu'à aller prouver que d(1)>0 et d(2)<0 et le tour est joué...
D'accord avec ça ?

Pour le reste, ce n'est pas parce que f(1)<f(2) que tu auras forcément [tex]f(1)\leq f(x)< f(2)[/tex]...
Q1 Une fonction f telle que [tex]f(1)\leq f(x)< f(2)[/tex] est décroissante sur [1 ; 2]
Est-ce que tu le sais pour f ? oui/non ? Si non que dois-tu faire ?
Puis calculer f(1), f(2), les comparer et conclure...

Q2 Même remarque... Il te faut le sens de variation de ta fonction dérivée...
Hmmm...
Il te faudrait chercher le signe de la dérivée de f'(x)...
Puis sens de variation de ta fonction f', puis calcul de f'(1) et f'(2), comparaison, conclusion...

@+
PS : je m'absente 2 bonnes heures... Si nécessaire prenez la suite. Autre idée de méthode qui m'échapperait ?

BAKARY NDIAYE · 16-03-2013 18:26:28

Bonjour !!!!
excusez moi, soso peux-tu etre plus clair dans ton enoncé !!!
j'avoue que je ne comprends pas ce que l'on demande

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (16-03-2013 18:27:52)

soso · 16-03-2013 19:26:38

Re,

Tout est claire dans ma tête maintenant
Q1:
[tex]f'(x)=1-(x²-2x+2)e^{-x}[/tex]
La fonction est strictement croissante sur [1;2] , on vérifie sur la calculatrice au risque de se faire crié dessus. Ouf c'est bien croissant!
On a bien [tex]1<f(x)<2[/tex]
A suivre

yoshi · 16-03-2013 19:31:21

Bonsoir,

Bakary, voilà l'énoncé (un peu) mieux présenté :

On considère la fonction f telle que [tex]f(x)=x-1+(x^2+2) e^{−x}[/tex]
1. Démontrer que [tex]\forall x \in [1;2],\; 1\leq f(x)<2[/tex]
2. Démontrer que [tex] \forall x \in [1;2],\;0< f'(x)<\frac 3 4[/tex]
3. En utilisant les variations de [tex]d:\, x\mapsto f(x)-x[/tex] sur [1;2] montrer que f(x)=x a une unique solution dans [1;2]

Et moi, je reprends les questions 1) et 2) (La question 3, elle, est réglée) arce que j'ai une idée et que je vois que j'ai lu f(1) et f(2) au lieu de 1 et 2...
Je vais devoir changer de lunettes ^_^...

Je reviens

@+

soso · 16-03-2013 19:38:23

Q2: [tex]f''(x)=(x²-4x+4)e^{-x}[/tex]

Comme [tex]e^{-x}>0[/tex] alors f''(x) a le signe du polynome qui s'annule en 0 et qui est toujours positif
Donc f'(x) est croissant sur [1;2]
On a bien 0<f'(x)<3/4

yoshi · 16-03-2013 19:49:08

Re,

Tiens, soso a reposté.
Nan ! La calculatrice n'est pas une preuve : c'est un indicateur qui te permet de voir si ta supposition est juste...

Donc
Q1. Je calculerais moi aussi la dérivée. De toutes façons, on en a besoin pour la Q2.
J'en cherche le signe ce qui me permet de dire que f est croissante.
Je calcule f(1) et f(2), je montre que [tex]1\leq f(1)[/tex] et [tex]f(2)<2[/tex] et je conclus...

Q2 On peut utiliser le même procédé pour f' que pour f :
chercher f" (la dérivée de la fonction f')
chercher le signe de f"(x) en déduire le sens de variation de la fonction f'... etc...
Mais j'aimerais autant éviter... donc, j'y retourne...

@+

[EDIT] soso, peux-tu lire mon post précédent et celui-ci s'il te plaît...
Et te dire pour Q2 que tu dois comparer f'(1) et 0, f'(2) et 3/4 sinon, ça ne vaut (presque) rien...

Dernière modification par yoshi (16-03-2013 19:52:31)

BAKARY NDIAYE · 16-03-2013 20:18:21

bonsoir Yoshi :

pour la premiére question je pense que pour démontrer l'inégalité:

[tex] \forall x[/tex][tex]\in [1;2][/tex],1[tex]\leqslant f(x)\leqslant2[/tex] et

On aurait eu d'autre part poser : [tex]\phi(x)= f(x) - 2[/tex], et etudier ces variations, si vous voyez ce que veut dire et laisser
le compatriote finir le boulot quoi.

cordialement!!

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (16-03-2013 20:27:39)

yoshi · 16-03-2013 20:45:26

Salut bakary,

Merci pour tes propositions.

D'autre part, ton message est incomplet :

Bakary a écrit :

[tex] \forall x[/tex][tex]\in [1;2][/tex],1[tex]\leqslant f(x)\leqslant2[/tex] et

et quoi ? Qu'est ce qui vient après ?

Etudier les variations de f(x) n'est pas plus compliqué qu'étudier celles de f(x)-2 ou f(x)=-1 et ça revient au même calcul dérivée, signe, etc...

Non, je cherche à prouver la Q2 avec les inégalités en partant de [tex]1\leqslant x \leqslant 2[/tex]...
Mais je coince !

@+

yoshi · 16-03-2013 21:18:09

Re,

Bon, je crois que j'ai une idée, mais je ne crois pas que soso aurait pu trouver ezt je me demande dans sa classe combien pourraient trouver (trouveront ?) cette méthode...
Voilà...
Je pars de [tex]f'(x)=1-(x^2-2x+2)e^{-x}[/tex]
Et je veux monter que [tex]f'(x)\geqslant 0[/tex]
[tex]1-(x^2-2x+2)e^{-x}\geqslant 0\;\Leftrightarrow\;-(x^2-2x+2)e^{-x}\geqslant -1\;\Leftrightarrow\;(x^2-2x+2)e^{-x}\leqslant 1[/tex]
[tex]e^{-x}[/tex] étant >0 quel que soit x, je multiplie les 2 membres par e^x:
[tex]1-(x^2-2x+2)e^{-x}\geqslant 0\;\Leftrightarrow\;x^2-2x+2\leqslant e^x[/tex]
Je vérifie que c'est vrai pour x = 1.
Puis je prends x > 1 et je pose le changement de variable suivant x = 1 +a avec [tex]0<a<1[/tex]
Ce qui me donne :
[tex](1+a)^2-2(1+a)- 2[/tex] pour le 1er membre et[tex] e^{1+a}=e\times e^a[/tex] pour le deuxième membre.
[tex](1+a)^2-2(1+a)- 2=1+2a+a^2-2a+2-2=1+a^2[/tex]
Puisque [tex]0<a<1[/tex] alors [tex]a^2<1[/tex] et [tex]1+a^2<2[/tex]
[tex]e^a[/tex] est croissante et donc[tex] e^a >1[/tex] (puisque a > 0)
et donc [tex]e^{1+a}>e>2[/tex]
On a donc :
[tex]1+a^2<2<e^{1+a}[/tex] et, puisque j'ai raisonné par équivalences, [tex]1-(x^2-2x+2)e^{-x}\geqslant 0[/tex]

Maintenant il faudrait essayer de raisonner plus ou moins à l'identique pour prouver que [tex]f'(x) \leqslant \frac 3 4[/tex]
Mais c'est déjà effroyablement tordu (et long) comme procédé, alors pour l'inégalité ci-dessus, je n'ai pas le courage ce soir..

De toutes façons vu la longueur, si je la double autant procéder via le signe de f"...

Donc 2 questions
1. Quelqu'un a-t-il une solution simple et courte ?
2. Quelqu'un voit-il une faille dans ce que j'ai fait ?

@+

freddy · 16-03-2013 22:25:09

Salut,

je pense que tout est dit ici (je reprends soso en corrigeant quelques erreurs) :

soso a écrit :

Q2: [tex] f''(x)=(x^2-4x+4)e^{-x}=(x-2)^2e^{-x}[/tex]
Comme [tex]e^{-x}>0[/tex] alors f'' a le signe du polynôme qui s'annule en 2. Il est positif ou nul.
Donc f' est croissante sur [1;2] vers [f'(1);f'(2)]
On a donc : [tex]f'(1) = 1-e^{-1} =0,6321 \gt 0[/tex] et [tex]f'(2)= 1 - 2e^{-2} =0,7293 \lt \frac34[/tex]
et donc [tex]\forall x \in [1;2],\, 0 \lt f'(x) \lt \frac34[/tex]

Dernière modification par freddy (16-03-2013 22:26:11)

yoshi · 16-03-2013 22:56:36

Re,

Merci Ms'ieu...
Clap, clap !

Mais, dans mon lit, j'ai été frappé...
Je veux toujours arriver à éviter f"...
Je simplifie ma propre méthode qui devient moins tordue : pas besoin de changement de variable...
Donc, je reprends.
[tex]f'(x)\geqslant 1 \Leftrightarrow \;x^2-2x+2\leqslant e^x[/tex]
[tex]g(x)=x^2-2x+2[/tex] est croissante sur [tex][1 \;;\;+\infty[[/tex] donc sur [tex][1 \;;\;2][/tex]
Sur cet intervalle, [tex]x^2-2x+2<2[/tex] (2²-2*2+2)
[tex]e^x[/tex] est croissante sur tout [tex]\mathbb{R}[/tex] et donc sur [tex][1 \;;\;2][/tex]
Sur cet intervalle [tex]e^x >e^1>2[/tex]

De façon identique, je peux écrire :
[tex]f'(x)\leqslant \frac 3 4 \Leftrightarrow \;x^2-2x+2\geqslant \frac{e^x}{4}[/tex]
et je verrai demain comment le montrer (j'avais imaginé quelque chose qui ne colle pas) : je retourne dans mon lit...

@+

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#1 15-03-2013 12:13:21

Intervalle...une grande histoire

#2 15-03-2013 12:39:41

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