Forum de mathématiques - Bibm@th.net

soso

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Fonction logarithme

Bonsoir,

j'ai fait un exercice pour m'entraîner pour le bac, mais je bloque un peu...pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?

Résoudre les système.
1°)
[tex]\left \{
\begin{array}{rcl}
x+y &= 65\\
ln x +ln y & = & ln 1000
\end{array}
\right.[/tex]

Ce que j'ai fait:
[tex]\left \{
\begin{array}{rcl}
x&= 65-y \\
ln(65-y)+ ln(y)& = & ln(1000)
\end{array}
\right.[/tex]

[tex]\left \{
\begin{array}{rcl}
x = 65 - y\\
ln(65-y²) & = & ln(1000)
\end{array}
\right.[/tex]

Après je dois résoudre 65y-y²-1000=0
delta=(3V28889)²
Ce qui est impossible ....

2°)
[tex]\left \{
\begin{array}{rcl}
e^{x+ln2}+e^{y+ln5}& = & 16 \\
e^{x+ln3}+e^{y+ln3} & = & 15
\end{array}
\right.[/tex]
No comment... des exponentielles mélangés au logarithmes je ne sais pas faire..
mais j'ai quand même essayé ...

[tex]\left \{
\begin{array}{rcl}
x+ ln 2+ y+ln5& = & ln16 \\
x+ ln 3+ y+ ln3& = & ln 15\end{array}
\right.[/tex]

Merci d'avance !

Sophie.

BAKARY NDIAYE

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Re : Fonction logarithme

Bonjour j'ai une méthode pour le premier systéme.

  il suffisait de résoudre la seconde équation du système on a:

               [tex]\ln x+\ln y=\ln 1000 \Longleftrightarrow \ln xy=\ln 1000[/tex]
                [tex]\Rightarrow xy=1000[/tex]
                      il en résulte donc l'equation[tex] t^2-St+P=0[/tex], avec S=65 et P=1000

                   en calculant donc [tex]\Delta[/tex] on aura deux solutions  aprés tu saura continuer

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (11-03-2013 09:51:38)

yoshi

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Re : Fonction logarithme

Bonsoir,

Pour le 2e système, je vais essayer d'être clair :
[tex]\begin{cases}e^{x+\ln 2}+e^{y+\ln 5} &= 16\\e^{x+\ln 3}+e^{y+\ln 3} & = 15\end{cases}[/tex]

Voilà le plan :
1. Tu dois effectivement dissocier chaque exponenentielle :
[tex]e^{a+b}=e^a \times e^b[/tex]
2. Tu dois simplifier l'écriture de toutes les expressions comprenant une exponentielle et un log :
   [tex] e^{\ln a}=a[/tex]
3. Après cela, tu dois arriver au système suivant :
   [tex]\begin{cases}2e^x +5e^y &= 16\\e^x+e^y & = 5\end{cases}[/tex]

Et maintenant, tu vas poser le changement de variables suivant [tex]X = e^x\;\;et \;\;Y=e^y[/tex] et te retouver face à un système que tu sais résoudre depuis la 3e :
[tex]\begin{cases}2X +5Y &= 16\\X+Y & = 5\end{cases}[/tex]

Une fois que tu auras trouvé X et Y, tu devras revenir à [tex]e^x = ... \;\;et \;\;e^y=...[/tex] où les points de suspension sont à remplacer par les valeurs trouvées pour X et Y afin d'arriver sur x et y...

Je n'en dis pas p^lus pour l'instant : bosse et reviens...

@+

yoshi

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Re : Fonction logarithme

Re,

Bakary, j'ai supprimé ton post : tu n'as pas à faire le travail à la place de soso : tu ne lui rends pas service, au contraire.
Laisse-la travailler !
C'est clair ? Il faut savoir s'arrêter (tes explications sont suffisantes) et attendre les questions...
Pour être plus précis :
Extrait des règles de Bibmath

Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, (...)

@+

soso

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Re : Fonction logarithme

Bonjour à tous,

Ahh je comprends mieux maintenant!!Merci !! La clé était le [tex]e^{ln a}=a[/tex], on avait pas parlé de ça en cours...

Voici mes réponses je saute les détails

Equation 1:

Quand X=40 Y=25
et quand X=25 Y=40

Equation 2

[tex](x;y)=(ln 3;\ln 2)[/tex]

yoshi

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Re : Fonction logarithme

Salut,

Oui, c'est juste.
Je reviens sur ton premier post :

Ce que j'ai fait:
[tex]\begin{cases}
x&= 65-y \\
\ln(65-y)+ \ln(y)& = \ln(1000)
\end{cases}
[/tex]

Ça, c'était juste, et te menait aussi rapidement à la solution...
Hélas, tu t'es mélangé les crayons dans ce qui suit, qui est faux.

[tex]\ln(65-y^2) = \ln(1000)[/tex]

Petite faute grande conséquence : tu es allée trop vite...
Utilise donc une ou deux étapes supplémentaires :
[tex]\ln(65-y)+ \ln(y) = \ln(1000)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\ln((65-y)\times y)=\ln(1000)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]y(65-y)=1000[/tex]
Et tu aboutissais à :
[tex]65y-y^2=1000[/tex]  et  non  [tex]65-y^2=1000[/tex] comme tu l'as écrit...
Et ça changeait tout !
L'équation que tu vas alors résoudre est [tex]y^2-65y+1000 = 0[/tex]
qui a bien la même forme que celle que Bakary t'a suggérée de résoudre...

En résumé, quoi que tu en dises, tu étais bien partie sans cette faute de développement indigne d'une TS et due à un manque de concentration et de rigueur.
Sinon, connaissais-tu la formule employée par Bakary ? Normalement, oui !

Vérification du système n°2:.
Avec [tex]x=\ln 3\;\;\text{et}\;\;y=\ln 2[/tex]
on obtient :
[tex]e^{\ln 3+\ln 2}+e^{\ln 2+\ln 5}=e^{\ln 6}+e^{\ln 10}=6+10 =16[/tex] C'est juste.
[tex]e^{\ln 3+\ln 3}+e^{\ln 2+\ln 3} = e^{ln 9}+e^{\ln 6}=9+6=15[/tex] C'est juste aussi.

Tout pigé ?

Alors il faudra le refaire dans quelque temps, disons une semaine.

@+

soso

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Re : Fonction logarithme

Bonjour et merci pour votre réponse!

Oui je vais toujours trop vite!
Non je ne connais pas la formule de Bakary :s ,on a fait que des exercices sur les fonctions log, pas de cours..

BAKARY NDIAYE

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Re : Fonction logarithme

Salut ///
Et pourquoi vous ne faites pas de cours sur les log