Série numérique (condition nécessaire de convergence)

boubamane · 10-03-2013 13:35:35

Bonjour à tous,
Mon objectif est de déterminer la nature de la série de terme général [tex]u_n=\sqrt{n^2-n}-n[/tex].
J'ai tenté de vérifier si [tex]\lim_{n \to +\infty} u_n=0[/tex] ou non, affin de pouvoir conclure, mais je tombe sur la relation [tex]u_n=n\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}-1 \right)[/tex]. La limite en [tex]+\infty[/tex] me donne donc une forme dont j'arrive pas à lever l'indétermination. Quelqu'un peut-il me donner une piste? Merci d'avance.

yoshi · 10-03-2013 14:36:13

Salut Boubamane,

ça faisait longtemps...

Bon, une idée :
[tex]\sqrt{n^2-n}-n=\frac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}{\sqrt{n^2-n}+n}=\frac{n^2-n-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}=-\frac{n}{\sqrt{n^2-n}+n}=\cdots[/tex]

@+

boubamane · 10-03-2013 16:59:43

Salut yoshi,
L'idée est bonne!
Je n'ai fais que suivre le chemin que tu as indiqué.
On donc [tex]\sqrt{n^2-n}-n=\dfrac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}{\sqrt{n^2-n}+n}=\dfrac{n^2-n-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}=-\dfrac{n}{\sqrt{n^2-n}+n}[/tex]
[tex]\sqrt{n^2-n}-n=-\dfrac{n}{n\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} +1\right)}[/tex]
En simplifiant par [tex]n[/tex] cette limite va tendre vers [tex]-\dfrac{1}{2}[/tex].
Ce qui donne
[tex]\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} u_n=\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2-n}-n=\lim_{n \to +\infty}-\dfrac{n}{n\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} +1\right)}=-\dfrac{1}{2} \neq 0 }[/tex].
Ce qui implique alors que la série [tex]\sum u_n[/tex] diverge.
Et merci pour l'aide précieuse. Heureux de voir que t'es toujours en très bonne forme.

yoshi · 10-03-2013 19:30:32

SAlut,

C'est bien ce que j'avais trouvé.
J'avais fait ensuite un contrôle numérique en cherchant la valeur de [tex]u_{10^{10}}[/tex] qui m'a aussi donné -0,5...
C'est un procédé (très) classique ; à retenir donc...

@+

boubamane · 10-03-2013 20:59:52

Bonsoir,
C'est vraie j'y avais même pas pensé. C'est une façon simple de se faire une idée sur le résultat.
Merci et @+

yoshi · 10-03-2013 21:30:53

RE,

Attention, quand j'ai écrit :

C'est un procédé (très) classique ; à retenir donc...

je parlais de la façon de lever l'indétermination...

Le calcul numérique c'est plus un réflexe, comme visualiser à l'écran la courbe représentative d'une fonction lors d'une étude...

@+

boubamane · 11-03-2013 02:10:19

Ah d'accord j'avais pas saisi.
J'avais l'habitude de tenter ce coup là avec un radical au dénominateur.
C'est une astuce de plus pour les calculs de limites. Je t'en remercie beaucoup.
@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-03-2013 13:35:35

Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#2 10-03-2013 14:36:13

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#3 10-03-2013 16:59:43

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#4 10-03-2013 19:30:32

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#5 10-03-2013 20:59:52

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#6 10-03-2013 21:30:53

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

#7 11-03-2013 02:10:19

Re : Série numérique (condition nécessaire de convergence)

Pied de page des forums