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zarga

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convergence faible

salut
j'ai du mal à trouver une la limite faible étoile de la matrice [tex]A^{\epsilon}[/tex] définie par [tex]A^{\epsilon}(x) = \alpha[/tex] si [tex]k \epsilon \leq x \leq (k+\dfrac{1}{2})[/tex] et [tex]A^{\epsilon}(x) = \beta[/tex] si [tex](k + \dfrac{1}{2}) \epsilon \leq x \leq (k+1)\epsilon[/tex] avec [tex]\epsilon = \dfrac{1}{n}[/tex]. merci de m'aider.

Fred

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Re : convergence faible

Salut,

  Je ne comprends pas bien tes notations. Tout cela vit dans quel espace?
Est-ce qu'il ne manque pas un epsilon quelque part???

F.

zarga mallogé

Invité

Re : convergence faible

Dsl Désolé pour le retard.

Tous cela se passe dans un intervalle et il manque un [tex]\epsilon[/tex] en fait je cherche à calculer la limite fable étoile de [tex]A^{\epsilon}[/tex] avec
[tex]A^{\epsilon} = \alpha, si \epsilon \leq x < (k+1/2) \epsilon[/tex]
[tex]A^{\epsilon} = \beta, si (k+ 1/2) \epsilon \leq x < (k+1) \epsilon, k \in \mathbb{N}[/tex].
Comment calculer la limite faible étoile de [tex]A^{\epsilon}[/tex] dans [tex]L^{\infty}(I)?[/tex] tel que I est un intervalle de [tex]\mathbb{R}[/tex]
Merci par avance.

Dernière modification par yoshi (30-03-2013 20:30:21)

Fred

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Re : convergence faible

Qu'est-ce qui est fixé, et qu'est-ce qui bouge dans ton énoncé?

zargamallogé

Invité

Re : convergence faible

[tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et on calcule la limite faible étoile quand [tex]jn[/tex] tend vers l'infini. J'ai trouvé une solution en anglais, peux-tu me l'expliquer en français s'il te plait parceque je ne l'ai pas comprise

t is enough to compute [tex]\lim_{n\to\infty}\int_0^1 A_n(x)f(x)\,dx[/tex] for continuous functions [tex]f\colon[0,1]\to\mathbb{R},[/tex] since these are dense in [tex]L^1(\Omega)[/tex]. You will find that the limit is[tex] \frac{\alpha+\beta}{2}\int_0^1 f(x)\,dx\tag{1}......(1)[/tex] – just take the difference between the two integrals, consider the difference of integrals over each subinterval[tex] [k\epsilon,(k+1)\epsilon][/tex], and use uniform continuity. (Perhaps you wish to insert a Riemann sum in the estimate.)

For more detail, note [tex]\int_0^1 A_n(x)f(x)\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\alpha\int_{k\epsilon}^{(k+1/2)\epsilon}f(x)\,dx+\beta\int_{(k+1/2)\epsilon}^{(k+1)\epsilon}f(x)\,dx\Bigr)[/tex] in which you replace [tex]f(x)[/tex] in the integrals on the right by[tex] f(k\epsilon)[/tex], carefully estimating the error you introduce by doing so. (For any[tex] \eta>0[/tex] you can pick [tex]\epsilon>0[/tex] so that [tex]\lvert f(x)-f(k\epsilon)\rvert<\eta[/tex] for [tex]x\in[k\epsilon,(k+1)\epsilon][/tex] – this is uniform continuity.) Now do the same with the integral in (1) and subtract.

Fred

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Re : convergence faible

La preuve dit que [tex]A_n[/tex] converge faible étoile vers la fonction constante égale à [tex]\frac{\alpha+\beta}2[/tex].

Pour cela, par densité des fonctions continues dans les fonctions intégrables, il suffit de prouver que pour toute fonction continue [tex]f[/tex], on a
[tex]\lim_{n\to\infty}\int_0^1 A_n(x)f(x)\,dx=\frac{\alpha+\beta}{2}\int_0^1 f(x)\,dx[/tex].
On calcule la différence, et on trouve
[tex]\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\alpha\int_{k\epsilon}^{(k+1/2)\epsilon}f(x)-\frac \alpha2\int_{k\epsilon}^{(k+1)\epsilon}f(x)dx+\beta\int_{(k+1/2)\epsilon}^{(k+1)\epsilon}f(x)\,dx-\frac \beta2\int_{k\epsilon}^{(k+1)\epsilon}f(x)dx\Bigr)[/tex]
On démontre que ceci est petit en utilisant l'uniforme continuité de f.

Fred.