Orthogonalité

shitane · 07-03-2013 20:45:35

Bonjour,

Alors j'ai un exercice à faire, et je suis bloqué des la question 2.

On considère les vecteurs :

u1= e1
u2= 2e1 + e3
u2= 3e1 + e4
et F=Vect({u1 u2 u3})

Déterminer la dimension de F
Déterminer l'orthogonal de F pour q, quelle est sa dimension ?

Donc j'ai supposé que les e étaient les coordonnés des trois vecteurs, dans une dim R4. Puisque j'ai jusqu'a e4.
J'ai établit une matrice comme ceci :

1 2 3
0 0 0
0 1 0
0 0 1

Et donc le systeme suivant pour sa dimension :

x + 2y + 3z = 0 x = -2y - 3z = -2y
y = y => paramètre
z = 0
t = 0

Donc dimension est de 3.

Et là question d’après c'est l'orthogonalité de F pour q... Surtout qu'il faut trouver en trois argument différents...
Alors j'ai repris le système d’équation
x = 0
2x + z =0
3x+ t =0

Ce qui ferait un vecteur (0 1 0 0) Or on m'a dit que dimension de l'orthogonal était de 2... ce qui donne que mon essai est faux. Auriez vous une idée ?

Merci d'avance !

freddy · 07-03-2013 21:02:32

Salut,

c'est qui, "on" ? Ta réponse me semble juste, sur le principe (je n'ai pas regardé le détail des calculs !)

shitane · 07-03-2013 21:14:10

une amie plutôt douée ^^" Si mon résultat est bon,pourquoi dim de F orthogonal serait de 2? Auriez vous d'autres méthodes à me proposer pour que je vérifie mes résultats ?
Surtout qu’après ça je dois trouver la signature de q, et pour cela on a vu qu'une méthode, et on avait déjà q(x,y,z,t)...

Roro · 07-03-2013 21:36:32

Bonsoir,

Je suis un peu perdu dans ce que tu racontes car c'est très imprécis.
Que sont e1, e2... ? Dans quel espace te places-tu (tu parles de [tex]\mathbb R^4[/tex] mais est-ce vraiment ça?) ?
Quelle est la forme quadratique q ? (j'imagine que c'est une forme quadratique...)

Roro.

freddy · 07-03-2013 22:05:36

Re,

si je comprends bien avec les erreurs de notations et les imprécisions, on a [tex](e_i)[/tex] base canonique de l'ev réel [tex]\mathbb{R}^4[/tex]

On vérifie rapidement que les [tex](u_j)[/tex] forment bien une base de F, donc il est de dimension 3. Donc son orthogonal par rapport à [tex]\mathbb{R}^4[/tex] est de dimension 1.

Après, je n'ai pas fait les autres calculs, hormis celui de vérifier que les 3 vecteurs générateurs de F sont bien libres.

Pour le reste, je suis comme Roro, comprends pas bien !

Dernière modification par freddy (07-03-2013 22:08:49)

shitane1 · 07-03-2013 22:19:56

Bonsoir,
Je viens de voir que ma feuille ne contenait pas deux mais un exercice. Donc je rajoute un élément qui est
q(x,y,z,t) = x² +2y² +2xy + 2yz + 2yt
F=Vect({u1,u2,u3}) avec
u1= e1
u2=2e1 + e3
u3 = 3e1 + e4

e1, e2, e3, e4 étant la base canonique.

Est ce que cela change quelque chose pour l'orthogonal de F pour q ?

freddy · 07-03-2013 22:34:31

Re,

Ben oui ma belle, ... Allez Roro, on you !

shitane1 · 07-03-2013 22:51:37

Si cela change quelque chose, qu'est ce que c'est dans ce cas ? Parce que je vois pas du tout...

freddy · 08-03-2013 11:27:10

Re,

mes souvenirs sont trop lointains, je me souviens seulement que la notion d'orthogonalité avec une forme quadratique Q permet une définition très précise.

Si on prend B la forme bilinéaire symétrique associée à Q (qu'on me corrige si les termes sont erronés), alors u et v sont orthogonaux ssi B(u,v)=0.

Je vais un peu chercher, mais d'autres seront sûrement plus efficaces que moi.

Bon courage.

MathRack · 08-03-2013 14:37:56

Bonjour,

Je doute de la rigueur du raisonnement :

[tex]F=Vect\left(u_1,u_2,u_3\right)=Vect\left(u_1,u_2-2u_1,u_3-3u_1\right)=Vect\left(e_1,e_3,e_4\right)[/tex]?

Dans l'expression de q, z et t peuvent être échangés sans conséquence. L'espace vectoriel F contient les vecteurs [tex]e_3[/tex] et [tex]e_4[/tex].
Donc l'image de F par q est de dimension dim(F)-1=2?
Donc l'orthogonal de F par q est de dimension 4-dim(q(F))=2?

freddy · 08-03-2013 22:07:03

Salut,

j'ai cherché et je maintiens ma première réponse : la dimension de l'orthogonal à F = 1. Par contre, la signature de la forme quadratique est égale à (2,0).

Bis bald

Roro · 09-03-2013 20:04:21

Bonsoir,

Maintenant que l'énoncé est plus clair, voici ce que je ferai (j'ai fait les calculs rapidement, il se peut qu'il y ait une erreur, vous me le direz...).

On remarque que [tex]F = Vect(e_1,e_3,e_4)[/tex] (ça permet de me simplifier les calculs ensuite).
La forme bilinéaire symétrique associée à [tex]q[/tex] est donnée par
[tex]\varphi((x_1,y_1,z_1,t_1),(x_2,y_2,z_2,t_2)) = x_1x_2 + 2 y_1y_2 + x_1y_2 + x_2 y_1 + \cdots[/tex]
On peut ainsi caractériser l'orthogonal de [tex]F[/tex] :
[tex]u = (x,y,z,t) \in F^\perp \Longleftrightarrow \varphi(u,e_1)=0,\, \varphi(u,e_3)=0\, \text{et}\, \varphi(u,e_4)=0[/tex]
On en déduit que [tex]F^\perp = Vect(e_3,e_4)[/tex] qui est en particulier de dimension 2.

Pour ce qui est de la signature de q, j'utiliserai la décomposition (cf Gauss) suivante (à vérifier) :
q[tex](x,y,z,t) = (x+y)^2 + (y+z+t)^2 -(z+t)^2[/tex] d'ou [tex]sgn(q) = (2,1)[/tex].

Roro.

freddy · 10-03-2013 11:00:32

Salut,

trop fort, Roro, trop, fort ... Bon, faut que je révise plus attentivement :-)

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