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zarga

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norme

Bonsoir
j'ai la question suivante: on admet que
[tex]\sum_{i,j=1,...,n} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \dfrac{\partial^2 u}{\partial w_i^2} \dfrac{\overline{\partial^2 v}}{\partial w_j^2} dx + \lambda \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} u \overline{v} dx.[/tex]
est un produit scalaire sur [tex]H^2(\mathbb{R}^n)[/tex] pour [tex]\lambda > 0. [/tex]
la norme définie à partir de ce produit scalaire est équivalente à la norme classique de [tex]H^2(\mathbb{R}^n).[/tex]
La question est: prouver que pour tout [tex] \lambda > 0[/tex] et pour tout [tex] f \in H^{-2} (\mathbb{R}^n)[/tex] il existe une solution unique [tex] u  \in H^2(\mathbb{R}^n)[/tex] solution de l'équation [tex] (\Delta^2 + \lambda)u = f [/tex] comment on fait pour écrire la formulation variationnelle associée? merci bien

Dernière modification par zarga (07-03-2013 20:28:03)

Roro

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Re : norme

Bonsoir,

Tu fais comme tu l'as fait pour les autres exercices !
Tu multiplies ton équation par une fonction et tu intégres par parties...
Y-aurait-il un piège ?

Roro.

zarga

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Re : norme

Ce n'est pas un piège, mais... si on prend une fonction test [tex] v \in H^2(\Omega)[/tex], multiplie l'équation par [tex]v[/tex] et on intègre sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] , ca donne [tex] \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (\Delta^2 + \lambda) u dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) v(x) dx.[/tex]
comment on fait l'intégration par parties de [tex] \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (\Delta^2 + \lambda) u dx [/tex]? je ne suis pas à l'aise avec [tex]\Delta^2.[/tex] Merci bien!