probléme ::

BAKARY NDIAYE · 02-03-2013 13:47:31

Bonjour!!
j'ai un probléme. j'ai encore essayer d'utiliser le code latex j'ai toujours des problémes. Bon voici l'enoncé sous forme de texte:
on a: ( racine carrée de 1) + (racine carrée de 2) +(racine carrée de 3) + (racine carrée de 4)+.........+(racine carrée de 2n). En fait moi mon probléme c'est le dernier terme ou l'on fait intervenir le 2.S 'il n y avait ce 2 du dernier terme on aurait pu utiliser le symbole SIGMA pour le resoudre::facilement.

----------------------------------------------
[EDIT]@yoshi
Tu as écrit :
( racine carrée de 1) + (racine carrée de 2) +(racine carrée de 3) + (racine carrée de 4)+.........+(racine carrée de 2n)
Voilà comment on écrit cela via Latex :
\sqrt 1 +\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 + ...+\sqrt {2n}
qui encadré de 2 balises tex (sélectionner la formule et cliquer sur l'icône tex de la barre d'outils de messages) :
[tex]\sqrt 1 +\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 + ...+\sqrt {2n}[/tex].
Le symbole Sigma s'écrit \sum et donne avec les balises : [tex]\sum[/tex]
Pour l'utilisation (c'est écrit sur ma page d'aide) c'est \sum_{i=1}^{2n}\sqrt i --> [tex]\sum_{i=1}^{2n} \sqrt i[/tex]

Dernière modification par yoshi (02-03-2013 14:44:56)

totomm · 02-03-2013 14:18:34

Bonjour,

Si vous voulez écrire : [tex]\sum_{k=1}^n{(2k+1)}=k^2[/tex] ou [tex]\sqrt{25}[/tex]
vérifiez les \ = altGr+8, les parenhèses et les accolades....

Utilisez "Citer" pour voir le code Latex

BAKARY NDIAYE · 02-03-2013 14:41:14

merci !!!! j'ai vu mon probléme

BAKARY NDIAYE · 02-03-2013 15:09:44

voici ce que j'ai fait::
on a: [tex]\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\sqrt{k}\,
=\frac{1}{2}\times(2n-1+1)(\sqrt{2n}+1)
=n(\sqrt{2n}+1) [/tex]

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (03-03-2013 12:41:51)

BAKARY NDIAYE · 02-03-2013 15:23:40

c'est çà que j'ai fait moi ::: c'est juste oubien::

yoshi · 02-03-2013 15:52:58

Salut,

Je ne sais pas calculer ça...
Mais j'ai fait deux approximations en Python
n=3
[tex]S\approx 10.8318220902[/tex] et [tex]3(\sqrt 6 +1)\approx 10.3484692283[/tex]

n=100
[tex]S\approx 1892.48421103[/tex] et [tex]100(\sqrt {200} +1)\approx 1514.21356237[/tex]
Bien sûr ce sont des calculs approchés, mais pour chaque racine non entière, à [tex]10^{-11}[/tex] près, et cela ne justifie pas l'écart de 0,5 sur 6 termes et ensuite l'écart de plus de 300 pour 200 termes...

Donc pour moi, c'est faux...

Peux-tu détailler ta méthode de calcul : cela servira à d'autres que moi sûrement...

@+

totomm · 02-03-2013 15:59:44

ReBonjour,

C'est écrit en latex, bien : Mais le résultat est faux !
exemple si n=2
[tex]\sqrt 1 +\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 = 1+1.414+1.732+2=6.146[/tex] alors que [tex]n(\sqrt{2n}+1)=6[/tex]

cordialement

BAKARY NDIAYE · 02-03-2013 17:00:16

ah d'accord je vois pouvez vous m'aidez donc::

yoshi · 02-03-2013 17:05:19

Re,

Yoshi a écrit :

Peux-tu détailler ta méthode de calcul : cela servira à d'autres que moi sûrement...

@+

yoshi · 03-03-2013 12:04:38

Bonjour,

Après beaucoup de recherches, j'ai entrevu sur la toile une solution que mes compétences ne me permettent pas de mener à son terme.
Apparemment, il s'agit d'encadrer [tex]\sum_{k=1}^{2n} \sqrt k[/tex] entre deux sommes et d'en calculer les limites.
Cela part du réagencement suivant de :
[tex]\sqrt 1 + \sqrt 2 +\sqrt 3+\sqrt 4+\sqrt 5+\sqrt 6+\sqrt 7+\sqrt 8+\sqrt 9 +\cdots+\sqrt{15}+\sqrt{16}+\cdots+\sqrt{24}+\cdots[/tex]
en :
[tex](\sqrt 1 + \sqrt 2 +\sqrt 3)+(\sqrt 4+\sqrt 5+\sqrt 6+\sqrt 7+\sqrt 8)+(\sqrt 9+\cdots+\sqrt{15})+(\sqrt{16}+\cdots+\sqrt{24})+\cdots[/tex]
Ensuite de constater que :
[tex]1\leq \sqrt 1 < 2[/tex]
[tex]1\leq \sqrt 2 < 2[/tex]
[tex]1\leq \sqrt 3 < 2[/tex]
D'où
[tex]1 \times 3 \leq \sqrt 1 + \sqrt 2 +\sqrt 3) < 2 \times 3[/tex]
[tex]2\leq \sqrt 4 <3 [/tex]
[tex]2\leq \sqrt 5 <3 [/tex]
[tex]2\leq \sqrt 6 <3 [/tex]
[tex]2\leq \sqrt 7 <3 [/tex]
[tex]2\leq \sqrt 8 <3 [/tex]
D'où
[tex]2 \times 5 \leq \sqrt 4 +\sqrt 5+\sqrt 6 +\sqrt 7 +\sqrt 8 < 3 \times 5 [/tex]

[tex]3\leq \sqrt 9 <4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt {10} <4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt {11} <4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt {12} <4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt{13} < 4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt {14} <4 [/tex]
[tex]3\leq \sqrt {15} <4 [/tex]
D'où
[tex]3 \times 7 \leq \sqrt 9 +\sqrt {10}+\sqrt {11} +\sqrt {12} +\sqrt {13}+\sqrt {14}+\sqrt {15}< 4\times 7 [/tex]

A chaque fois, on somme 2k+1 termes (racines), le 1er étant [tex]\sqrt {k^2}[/tex], le dernier [tex]\sqrt{k^2+2k}[/tex]

Donc
[tex]\sqrt {k^2}\times (2k+1)\leq\sum_{i=k^2}^{k^2+2k} \sqrt i < (k^2+1)(2k+1)[/tex]

Problème que je vois à cette méthode :
- quel que soit k, je ne vais m'arrêter à un nombre du type 2n, il en manquera au moins 1
- en admettant que je fasse provisoirement l'impasse là-dessus, il faudrait encore que 2n soit un carré pour avoir des séries complètes de sommes de racines.

Je me perds et je n'ai pas trop de temps pour essayer de finir (j'ai une revue trimestrielle sur les bras à finir de monter), alors si ça inspire quelqu'un, qu'il ne se gêne pas...

@+

BAKARY NDIAYE · 04-03-2013 15:43:52

Decidément l'exercice devient de plus en plus corsée.

totomm · 04-03-2013 17:33:34

Bonjour,

c'est bien au-delà des capacités "collège Lycée" !!
A quelle occasion vous a-t-on donné cet exercice ?

Cordialement

freddy · 04-03-2013 19:46:37

Bonsoir,

ça, c'est pour Fred ou Roro ou Barbichu ou ...

Va voir là : Fonction zêta de Riemann

Moi, comme d'autres, je sais faire pour [tex]s=2[/tex], mais dans ton cas, pour[tex] s=-\frac12[/tex] je ne sais pas trop ?!?

Bon courage ...

BAKARY NDIAYE · 04-03-2013 20:23:28

En fait c'est un en exercice concernant notre premier chapitre intitulé chapitre 0 concernant spécialement les symboles sygma et PI.
Et si je posé le probléme au niveau supérieur peu etre on aura une solution:::

yoshi · 05-03-2013 08:27:17

Bonjour,

Voilà, sujet déplacé.
Et je profite de l'occasion pour dire que ma piste doit être abandonnée,au moins en l'état : les 2 bornes [tex]\sqrt {k^2}\times (2k+1)\; \text{ et }\:(k^2+1)(2k+1)[/tex] ne sont pas appropriées.
L'écart [tex] (k^2+1)(2k+1) - \sqrt {k^2}\times (2k+1)=(k^2-k+1)(2k+1)[/tex] ne fait qu'augmenter...

Désolé.

@+

[EDIT]

Bakary Ndiaye a écrit :

En fait c'est un en exercice concernant notre premier chapitre intitulé chapitre 0 ...

En Terminale S ?????
Invraisemblable...
Le programme de TS a-t-il été autant remanié ?
Pour l'avoir lu et relu, j'avoue que ça me dépasse : je me demande si cet "exercice" ne serait pas sorti de son contexte.

Dernière modification par yoshi (05-03-2013 10:19:29)

MathRack · 05-03-2013 11:17:52

Bonjour à tous,

@Yoshi : Concernant l'encadrement des sommes partielles de [tex]\sqrt{i}[/tex]entre [tex]k^2[/tex] et [tex]k^2+2k[/tex], peut-on s'en sortir avec un développement en série entière?

On pose [tex]0 \leq i \leq 2k [/tex]
[tex]\sqrt{k^2+i} = k \sqrt{1+\frac{i}{k^2}} = k + \frac{i}{2k} - \frac{i^2}{8k^3} + \frac{i^3}{16k^5} ... [/tex]

Les deux premiers terme du développement en série entière sont des suites arithmétiques, ce qui donne

[tex]\sum_{i=0}^{2k} k = k\frac{2k+1}{2}\left(1+1\right) = 2k^2+k[/tex]
[tex]\sum_{i=0}^{2k} \frac{i}{2k} = \frac{1}{2k}\frac{2k+1}{2}\left(2k+0\right) = k+\frac{1}{2}[/tex]

Avez-vous une astuce pour calculer les sommes des autres termes du développement en série? Manifestement ils deviennent négligeables. Comme le signe est alterné, il y a peut-être moyen d'en déduire un encadrement qui converge.

Roro · 05-03-2013 11:31:27

Bonjour,

Je ne sais pas quelle est la question exactement : est-ce de calculer la valeur de [tex]u_n=\sum_{k=1}^{2n} \sqrt{k}[/tex] pour tout entier [tex]n[/tex], ou est ce qu'il faut trouver sa limite ? (la deuxième question me semble plus "facile").

Roro.

Dernière modification par Roro (05-03-2013 11:31:46)

yoshi · 05-03-2013 12:00:48

Re,

Ave Roro...
Si j'en crois ce qu'avait écrit notre ami dans l'un de ses posts :

voici ce que j'ai fait::
on a: [tex]\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\sqrt{k}\,
=\frac{1}{2}\times(2n-1+1)(\sqrt{2n}+1)
=n(\sqrt{2n}+1) [/tex]

(résultat qui était d'ailleurs faux)
il tente bien de calculer la valeur de la somme
[tex]u_n=\sum_{k=1}^{2n} \sqrt{k}[/tex]...

Moi, je ne sais pas, freddy non plus ; a priori, toi, tu n'as pas l'air de ne pas savoir...

@+

totomm · 05-03-2013 12:22:02

Bonjour,

Le regroupement [tex]\sum_{i=k^2}^{k^2+2k} \sqrt i [/tex] proposé par yoshi est certainement la bonne idée
car il permet des regroupements de termes de la forme [tex] \sqrt{k^2+p}=k \sqrt{1+\frac{p}{k^2}}[/tex]
qui peuvent être traités en développement limité de [tex](1+x)^\frac{1}{2}[/tex]
pour chaque [tex]x=\frac{p}{k^2}[/tex], p entier apparaît maintenant élevé à des puissances entières...

Pour qui aurait la patience de continuer...
Cordialement

freddy · 05-03-2013 13:07:58

Re,

après des recherches complémentaires, cette question est en relation avec une autre fonction spéciale, la fonction de Lerch. ce sont des sujets assez complqués et contemporains.

T'es sûr que ton prof ne t'a pas demandé de calculer [tex]I_n=\int_{1}^{2n}\sqrt{x}\,dx[/tex] ?

Je crois me souvenir qu'un problème de Terminale C de juin 83 (Académie Aix Marseillle), donnait toute la démarche à suivre pour calculer [tex] \zeta(2)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex].

C'était d'ailleurs un très joli sujet qui couvrait tout le programme de manière très intelligente.

totomm · 05-03-2013 13:08:30

reBonjour

MathRack a écrit :

On pose [tex]0 \leq i \leq 2k [/tex]
[tex]\sqrt{k^2+i} = k \sqrt{1+\frac{i}{k^2}} = k + \frac{i}{2k} - \frac{i^2}{8k^3} + \frac{i^3}{16k^5} ... [/tex]

Petite correction :
Les coefficients successifs sont [tex]1[/tex], [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]-\frac{1}{4*2}[/tex], [tex] \frac{3}{8*6}[/tex], [tex]-\frac{15}{16*24}[/tex]

MathRack · 05-03-2013 13:44:26

Re,

On n'est jamais à l'abri d'une erreur de calcul. Pour l'encadrement de [tex]\sum_{i=k^2}^{k^2+2k}\sqrt{i}[/tex], mon crayon de bois conduit à :
- Le développement limité à l'ordre 2 donne la borne inf :
[tex]2k^2+2k+\frac{1}{6}-\frac{1}{4k}-\frac{1}{24k^2}[/tex]
- Le développement limité à l'ordre 3 donne la borne sup :
[tex]2k^2+2k+\frac{1}{6}+\frac{5}{24k^2}+\frac{1}{16k^3}[/tex]

totomm · 05-03-2013 15:13:20

Re,

@ MathRack : Je vous présente mille excuses, j'étais à l'ordre 4 avec [tex]-\frac{15}{16\times{24}}[/tex] et j'ai confondu avec votre [tex]\frac{1}{16}[/tex] (avec en plus le changement de signe !!)
Votre crayon de bois est tout à fait remarquable

Cordialement

MathRack · 05-03-2013 15:49:18

Re,

@totomm : suite à votre remarque, j'ai refait les calculs et trouvé des erreurs...

J'ai fait quelques tests numériques. L'encadrement ne marche pas au début mais "a l'air" bon pour [tex]k[/tex] assez grand.

yoshi a écrit :

En Terminale S ?????
Invraisemblable...
Le programme de TS a-t-il été autant remanié ?
Pour l'avoir lu et relu, j'avoue que ça me dépasse : je me demande si cet "exercice" ne serait pas sorti de son contexte.

On a peut-être une réponse, mais on cherche toujours la question...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-03-2013 13:47:31

probléme ::

#2 02-03-2013 14:18:34

Re : probléme ::

#3 02-03-2013 14:41:14

Re : probléme ::

#4 02-03-2013 15:09:44

Re : probléme ::

#5 02-03-2013 15:23:40

Re : probléme ::

#6 02-03-2013 15:52:58

Re : probléme ::

#7 02-03-2013 15:59:44

Re : probléme ::

#8 02-03-2013 17:00:16

Re : probléme ::

#9 02-03-2013 17:05:19

Re : probléme ::

#10 03-03-2013 12:04:38

Re : probléme ::

#11 04-03-2013 15:43:52

Re : probléme ::

#12 04-03-2013 17:33:34

Re : probléme ::

#13 04-03-2013 19:46:37

Re : probléme ::

#14 04-03-2013 20:23:28

Re : probléme ::

#15 05-03-2013 08:27:17

Re : probléme ::

#16 05-03-2013 11:17:52

Re : probléme ::

#17 05-03-2013 11:31:27

Re : probléme ::

#18 05-03-2013 12:00:48

Re : probléme ::

#19 05-03-2013 12:22:02

Re : probléme ::

#20 05-03-2013 13:07:58

Re : probléme ::

#21 05-03-2013 13:08:30

Re : probléme ::

#22 05-03-2013 13:44:26

Re : probléme ::

#23 05-03-2013 15:13:20

Re : probléme ::

#24 05-03-2013 15:49:18

Re : probléme ::

Pied de page des forums