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amatheur

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La réciproque du TAF!

salut
soit f une fonction de classe [tex]{C}^{2}[/tex] sur un intervalle [tex]{[a,b]}[/tex]
je cherche des conditions nécessaires et/ ou suffisantes pour que:
[tex]\forall c\in \left[a,b\right]\,,\,\exists \,\left(x,y\right)\in \left[a,b\right]tq\,f'\left(c\right)\left(x-y\right)=f\left(x\right)-f\left(y\right)[/tex].
si quelqu'un aurait une piste pour trouver ces conditions, je suis preneur.
je vous remercie d'avance.
@+

Dernière modification par amatheur (03-03-2013 13:35:13)

Fred

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Re : La réciproque du TAF!

Salut,

  Je pense qu'une condition suffisante est que [tex]f''(c)\neq 0[/tex],
à condition de supposer que [tex]c\in ]a,b[ [/tex]
En effet, faisons cette hypothèse, on peut même supposer que [tex]f''(c)>0[/tex].
Quitte à changer [tex]f[/tex] en [tex]f(x)-f'(c)x[/tex] (ce qui ne change pas la dérivée seconde), on
peut supposer [tex]f'(c)= 0[/tex]. Mais alors, [tex]f[/tex] admet un minimum local strict en [tex]c[/tex]
(c'est là qu'on utilise l'hypothèse [tex]f''(c)>0[/tex]). Il existe donc [tex]x_0<c[/tex]
tel que [tex]f(x_0)>f(c)[/tex], et il existe [tex]y_0>c[/tex] tel que [tex]f(y_0)>f(c)[/tex]. Un petit
coup de théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence de [tex]x_1<c<y_1[/tex] de sorte
que [tex]f(x_1)=f(y_1)[/tex], ou encore [tex]\frac{f(x_1)-f(y_1)}{x_1-y_1}=f'(c)[/tex].

La fonction [tex]x^3[/tex] montre qu'on ne peut faire guère mieux que cette condition.

Fred.

amatheur

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Re : La réciproque du TAF!

salut.
oui c'est dans un intervalle ouvert que se trouve c..
merci beaucoup Fred pour vos explications.
@+