Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

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Intégration

Salut,
Dans une démonstration d'une proposition, on a utilisé cette inégalité: [tex] ||f||_{L^r} \leq ||f||_{L^ \infty} + ||f||_{L^1 }[/tex] avec 1/r= -1/p + 1/q +1 .
Je ne sais pas d'où vient cette inégalité ! merci de m'aider :)

Dernière modification par samo12 (28-02-2013 20:32:22)

Roro

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Re : Intégration

Bonsoir,

Je ne sais pas à quoi correspondent p et q dans l'énoncé que tu donnes.
Moi je pense que je saurai démontrer que pour tout [tex]1\leq r <\infty[/tex] on a
[tex]|f|_{L^r} \leq \frac{1}{r}|f|_{L^1} + (1-\frac{1}{r})|f|_{L^\infty}[/tex]
mais je ne sais pas exactement ce que tu veux...

Roro.

samo12

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Re : Intégration

Bonsoir,

pour tout [tex]1\leq r <\infty[/tex] on a
[tex]|f|_{L^r} \leq \frac{1}{r}|f|_{L^1} + (1-\frac{1}{r})|f|_{L^\infty}[/tex]

Roro.

Re, si on montre ça avec  [tex]r<=1< \infty [/tex] , on obtient je ce je voulais démontrer. Pourrais-tu m'aider à démontrer la formule que tu a écrite. Merci :)

Dernière modification par samo12 (01-03-2013 16:08:19)

Roro

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Re : Intégration

Bonsoir,

je ne vois pas trop en quoi ça montre ce que tu demandais dans ton premier post car comme je l'ai dit, celui-ci n'avait pas de sens...
Pour démontrer ce que je t'ai annoncé, tu peux procéder ainsi :
[tex]|f|_{L^r}^r \leq |f|_{L^\infty}^{r-1} \, |f|_{L^1}[/tex]
donc
[tex]|f|_{L^r} \leq |f|_{L^\infty}^{\frac{r-1}{r}} \, |f|_{L^1}^\frac{1}{r}[/tex]
puis utiliser l'inégalité de Young
[tex]ab \leq \frac{a^r}{r}+ \frac{(r-1)b^{\frac{r}{r-1}}}{r}[/tex]

Roro.