Lax-Milgram

zarga · 25-02-2013 17:14:56

Salut,
Soit [tex]f \in L^2(\mathbb[{R}^n)[/tex]. Démontrer que l'équation [tex]\Delta u - u = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] admet une solution unique dans [tex]u \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex]
la formulation variationnelle associée est trouver [tex]u \in H^1(\Omega)[/tex] [tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u . \nabla v dx + \displaystyle\int_{\Omega} u . v dx = - \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial f}{\partial x_i} . v dx[/tex] pour tout [tex]v \in H^1(\mathbb{R}^n).[/tex]

on note [tex]L(v) = - \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial f}{\partial x_i} . v dx[/tex] . pour montrer que [tex]L[/tex] est continue, il faut trouver qu'il existe une constante [tex]C > 0[/tex] telle que [tex]|L(v)| \leq C ||v||_{H^1}[/tex]. Je n'arrive pas à faire ce point ne connaissant rien sur [tex]\dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex]. Merci!

Roro · 26-02-2013 10:25:49

Bonjour,

Je pense que la formulation variationnelle du second membre s'écrit plutôt [tex]\int_\Omega f \frac{\partial v}{\partial x_i}[/tex].
Ca devrait te simplifier la suite...

Roro.

zarga · 26-02-2013 11:16:33

Oui. Merci!

zarga · 26-02-2013 12:45:04

toujours dans le meme exercice. On note [tex]a(u,v) = \displaystyle\int_{\Omega} \nabla u . \nabla v dx + \displaystyle\int_{\Omega} u . v dx[/tex]
j'essaie de prouver la continuité de [tex]a.[/tex]
[tex]|a(u,v)| \leq \displaystyle\int_{\Omega} |\nabla u| |\nabla v| dx + \displaystyle\int_{\Omega} |u.v| dx \leq ||\nabla u||_{L^2} ||\nabla v||_{L^2} + ||u||_{L^2}||v||_{L^2} \leq ||u||_{H^1} . ||v||_{H^1} + ||u||_{H^1}. ||v||_{H^1} =[/tex]
[tex] = 2 ||u||_{H^1} . ||v||_{H^1}[/tex]
donc [tex]a[/tex] est continue.
Pour montrer que [tex]a[/tex] est coercive, [tex] a(v,v) = ||\nabla v||^2_{L^2} + ||v||_{L^2}^2 \geq c ||v||^2_{H^1}.[/tex] donc [tex]a[/tex] est coercive.
et il est simple de montrer que [tex]L[/tex] est une forme linéaire continue. Donc par Lax-Milgram il existe une solution unique [tex] u \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex] à l'équation.

ma question 2. est: Montrer qu'il existe une constante [tex] c > 0[/tex] telle que [tex] ||u||_ {H^1} \leq c ||f||_{L^2}.[/tex]
On sait par Lax-Milgram que la solution dépend continument de la forme linéaire L. Je ne sais pas comment l'utiliser pour répondre à ma question. Pouvez-vous m'aider svp? merci bien!

Moh · 28-02-2013 20:29:37

slt,
Est ce que l'intégrale est bien définie [tex]L(v) = - \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial f}{\partial x_i} . v dx[/tex] !!!!!!!!!!!!!!!!
la dérivéé "au sens des distribution" de certain fct [tex]L^2(R^n)[/tex] est dans l'espace [tex]H^-1(R^n) [/tex] (l'espace dual de [tex]H0^1(R^n) [/tex] ). Alors on peut écrit:
[tex]L(v)=<\dfrac{\partial f}{\partial x_i},v> ds H^-1(R^n)*H^1(R^n) [/tex]. qui est bien sur forme lin continue sur [tex]H^1(R^n) [/tex] (tu peut utiliser thm Riesz_Fréchet)

x-member · 28-02-2013 20:40:43

salut tout le monde,
pour la deuxième question tu peut utiliser la coersivité et la continuité de [tex]a[/tex].

zarga · 28-02-2013 21:50:05

j'ai tout de meme un problème avec la question 1 finalement. j'ai réussi à montrer l'existence et l'unicité d'une solution faible au problème, mais comment on montre l'existence ety l'unicité d'une solution forte? merci

x-member · 28-02-2013 22:08:22

On a:
[tex]u \in H^1(\Omega)[/tex] [tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u . \nabla v dx + \displaystyle\int_{\Omega} u . v dx = - \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial f}{\partial x_i} . v dx[/tex] pour tout [tex]v \in H^1(\mathbb{R}^n).[/tex]
on particulier pour v dans D.conclu le problème fort ;d'abort aux sens des distribution ..............

zarga · 28-02-2013 22:29:23

oui c'est ce que k'avais fais mais on m'a dis que c'est faux parceque ja manipule les distributions comme des fonctions. Je n'y comprend plus rien

x-member · 28-02-2013 23:05:46

[tex]u \in H^1(\Omega)[/tex] [tex]-\displaystyle\int_{\Omega} \laplacien u . v dx + \displaystyle\int_{\Omega} u . v dx = - \displaystyle\int_{\Omega} \dfrac{\partial f}{\partial x_i} . v dx[/tex] pour tout [tex]v \in H^1(\mathbb{R}^n).[/tex] pour tt v dans D .alors
[tex]u \in H^1(\Omega)[/tex] [tex]<-laplacien u+u,v>=<\dfrac{\partial f}{\partial x_i},v>[/tex] (le crochet de Dualité sur D)

d'ou,
[tex] -\laplacien u +u= \dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] aux sens des distribution. (c'est ton premier eq)
si f dans H^1 ; on a [tex] -\laplacien u +u= \dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] p.p

Dernière modification par yoshi (01-03-2013 08:02:52)

zarga · 28-02-2013 23:30:10

comment tu as écris les crochets de dualités? on ne sait pas si u est linéaire continue pour qu'elle puisse définir une distribution.

x-member · 28-02-2013 23:40:59

comme u dans H^1 ;alors elle définit une distribution.
laplacien u est dans l'espace H^-1 qui est dans D^'

Dernière modification par yoshi (01-03-2013 08:00:13)

zarga · 01-03-2013 11:47:46

si [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] sont des solutions de l'équation au sens des distributions et on note [tex]w = u-v.[/tex] alors [tex]- \Delta w + w = 0[/tex] au sens de [tex]\mathcal{D'} [/tex] comment montrer que ca implique que [tex] w = 0?[/tex]merci bien

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