Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zarga

Membre

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Messages : 53

Convergence dans les espaces de Sobolev

Bonjour,
je veux vérifier une chose qui n'est pas écrite dans mon cours: [tex](\varphi_n)_n[/tex] converge vers [tex]\varphi[/tex] dans [tex]H^2(\mathbb{R}^n)[/tex] si et seulement si [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]L^2[/tex] vers [tex]\varphi,[/tex] et [tex]\dfrac{\partial \varphi_n}{\partial x_i}[/tex] converge dans [tex]L^2[/tex] vers [tex]\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_i}[/tex] et [tex]\dfrac{\partial^2 \varphi_n}{\partial x_i^2}[/tex] converge dans [tex]L^2[/tex] vers [tex]\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i^2}.[/tex]

Généralisation. [tex](\varphi_n)[/tex] converge dans [tex]H^m[/tex] vers [tex]\varphi[/tex] si et seulement si [tex](\varphi_n)[/tex] converge dans [tex]L^m[/tex] vers [tex]\varphi[/tex] et chaque dérivée partielle au sens faible d'ordre [tex]|\alpha|[/tex] converge dans [tex]L^m[/tex] vers la dérivée partielle de [tex]\varphi[/tex] au sens faible d'ordre [tex]|\alpha|.[/tex] pour tout [tex]|\alpha| \leq m.[/tex] est-ce que ce que je dis est correct? merci bien!

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Convergence dans les espaces de Sobolev

Bonjour,

  Oui, c'est bien cela.

F.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Convergence dans les espaces de Sobolev

Bonjour,

Il y a juste une petite coquille dans ce que tu dis zarga (et Fred a dû lire trop vite) : ces espaces de Sobolev [tex]H^m[/tex] sont basés sur l'espace hilbertien [tex]L^2[/tex]. Donc pour être dans [tex]H^m[/tex], [tex]m\in \mathbb N[/tex], toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à [tex]m[/tex] doivent être dans [tex]L^2[/tex] (et non pas dans [tex]L^m[/tex]).

Roro.