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Natoandro

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Mesure et sous-additivité

Bonjour,

Soient [tex]X[/tex] un ensemble, [tex]T[/tex] une tribu sur [tex]X[/tex], [tex]\mu[/tex] une fonction additive de [tex]T[/tex] dans [tex]{\bar{\mathbb{R}}}_+[/tex] telle que [tex]\mu(\emptyset)=0[/tex].
On suppose que [tex]\mu[/tex] est dénombrablement sous-additive. Montrer que [tex]\mu[/tex] est une mesure sur [tex]T[/tex].

Merci.

Fred

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Re : Mesure et sous-additivité

Salut,

  Tu dois démontrer la [tex]\sigma-[/tex]additivité de [tex]\mu[/tex]. Pour cela, on démontre d'abord le fait que [tex]\mu[/tex]
est monotone : [tex]A\subset B\implies \mu(A)\leq\mu(B)[/tex]. Ceci est une conséquence de l'additivité en écrivant simplement que
[tex]B=(A\cap B)\cup (A^c\cap B)[/tex]

Tu fixes ensuite [tex](A_n)[/tex] une suite d'éléments de ta tribu deux à deux disjoints. Alors, on a
[tex]\mu(\cup_{n=0}^NA_n)=\sum_{n=0}^N \mu(A_n)[/tex]
par additivité finie et
[tex]\mu(\cup_{n=0}^N A_n)\leq \mu(\cup_{n=0}^{+\infty}A_n)[/tex]
par monotonie.

Donc
[tex]\sum_{n=0}^N \mu(A_n)\leq  \mu(\cup_{n=0}^{+\infty}A_n)[/tex]
et en faisant tendre N vers l'infini,
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(A_n)\leq  \mu(\cup_{n=0}^{+\infty}A_n)[/tex]

L'autre inégalité étant vraie par la propriété de sous-additivité dénombrable, on a gagné!

F.

Natoandro

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Re : Mesure et sous-additivité

Merci