Forum de mathématiques - Bibm@th.net

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

[Statisques] loi normal

Bonsoir à toutes et à tous !

Je débute dans les Statistiques et je bloque sur cet exercice :

Dans une banque, les dépôts ayant lieu chaque jour suivent
une loi normale de moyenne 9 euros et d'écart type 12 euros.
Les retraits suivent une loi normale de moyenne 7 euros et
d'écart type 10 euros.

Voici la question : On désire satisfaire 90% des opérations (semaine de 6jours). Quelle est alors la somme d'argent qu'il faut avoir en caisse en début de la semaine ?

Ce que je pensais faire :
Voici ce que je pensais faire :
Soit X la variable associée au dépôt et Y la variable associée au retrait.

P(X>Y)=0,9.
Comme on est sur 6 jour :
P(6X>6Y)=0,9.

P(6X-6Y>0)=0,9.

Est ce déjà juste ? Comment continuer ?
J'ai oublié de vous dire que j'ai une table de loi normale réduite centrée si nécessaire.

Merci à vous !

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Salut,

non, tu fais fausses route. D'abord, détermine la loi de la somme des dépôts et celle des retraits sur une semaine.

Ensuite, cherche le terme constant qui, ajouté à la somme des dépôts, excède dans 90 % des cas la somme des retraits.

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

Je vous remercie de vos conseils.
Au moins, je suis fixé, maintenant.

détermine la loi de la somme des dépôts et celle des retraits sur une semaine

Soit X la variable associée au dépôt.
X suit une loi normale N(9,12)  (cas journalier)

Maintenant sur 6 jours (donc pour la somme des dépôts), logiquement la moyenne ne change pas.
On a X suit une loi normale N(9,12*6).
Je ne sûr par contre qu'on puisse multiplier par 6 l'écart type. 

De même, Y suit une loi normale N(7,10*6).

Ensuite, cherche le terme constant qui, ajouté à la somme des dépôts, excède dans 90 % des cas la somme des retraits.

Soit V le terme constant
P(V+X>Y)>0,9
P(X-Y>-V)>0,9

Suis je bon pour l'instant ?

Merci à vous

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : [Statisques] loi normal

Salut,

  Je ne suis pas d'accord. Quand tu fais la somme de deux lois normales, il n'est pas logique que la moyenne ne change pas :
si en moyenne on retire 9 euros le premier jour et 9 euros le deuxième jour, on retire en moyenne sur les deux jours 18 euros!

A mon avis, tu devrais ouvrir ton cours et regarder le paragraphe : somme de deux lois normales indépendantes....
Vu ton exercice, je suis sûr que tu as cela dans ton cours!

Fred. (sans dy)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Re,

non seulement je plussoie Fred pour l'espérance, mais en outre je sors la boite à gifles pour l'écart-type ... Fred a raison, relis ton cours et reviens consulter !

A plus !

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

J'ai cherché des renseignements comme vous me l'avez demandé.
Pour la somme de deux lois normales :

[tex](m_x+m_y,\sqrt(\sigma_x^2+\sigma_y^2)[/tex]
(avec m la moyenne et sigma l'écart type de la somme)

Dans mon cas, c'est plus une différence (les retraits seront comptés négativement)

[tex](m_x-m_y,\sqrt(\sigma_x^2+\sigma_y^2)[/tex]

Après, on considère une période de 6 jour , soit :

[tex](6m_x - 6m_y, 6\sqrt(\sigma_x^2+\sigma_y^2)[/tex]

Soit V la variable aléatoire qui représente la somme d'argent que l'on recherche.

On a donc :

P(V+X>Y)=0,95
P(V>Y-X)=0,95

Je me ramène à une loi normale centrée réduite et j'évalue ma valeur de V.

Est ce le bon raisonnement ?

Merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Salut,

Je corrige ci-dessous, tu n'a pas assez cherché !

Bonjour,

J'ai cherché des renseignements comme vous me l'avez demandé.
Pour la somme de deux lois normales :

[tex]\mathcal{LN}(m_x+m_y,\sqrt{(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}[/tex]
(avec m la moyenne et sigma l'écart type de la somme)

Dans mon cas, c'est plus une différence (les retraits seront comptés négativement)

[tex]\mathcal{LN}(m_x-m_y,\sqrt{(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}[/tex]

oui, à condition qu'on fasse l'hypothèse supplémentaire que les dépots et les retraits sont indépendants en probabilité entre eux !

Après, on considère une période de 6 jour , soit :

[tex]\mathcal{LN}(6m_x - 6m_y, \sqrt{6\times (\sigma_x^2+\sigma_y^2)}[/tex]

Soit V la variable aléatoire constante qui représente la somme d'argent que l'on recherche.

On a donc :

P(V+X>Y)=0,95 (0,90 % ???)
P(V>Y-X)=0,95 (0,90 % ???)

Je me ramène à une loi normale centrée réduite et j'évalue ma valeur de V.

Est ce le bon raisonnement ?

Merci

Tu devrais plutôt écrire :
On cherche V tel que :  [tex]\Pr(Y \le V+X) = 0,90[/tex]

C'est plus proche du problème : la somme des retraits Y ne doit pas, à 90 %, excéder la somme des dépots X plus mon fond de caisse V.

Dernière modification par freddy (20-02-2013 18:36:35)

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

Je vous remercie de vos remarques, je prends note.

J'ai quelques questions,

Oui, c'est bien 0,90 et non 0,95.

Pourquoi le "6" est sous la racine ?
[tex]N(m_x- m_y,\sqrt (6(\sigma_x^2+\sigma_y^2))[/tex]

Du coup, comme on étudie l'expression
[tex]Pr(Y<V+X)=Pr(Y-X<V)[/tex]

La loi normale est plutôt : [tex]N(m_y- m_x,\sqrt(6(\sigma_x^2+\sigma_y^2))[/tex] (il faut inverser l'ordre de la soustraction)
Est ce bien cela ?

Merci encore.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Re,

car la variance d'une somme de va indépendantes = la somme des variances (et pas des écart types ...)

Oui pour la dernière question.

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

Oui mais V(aZ)=a²V(Z)
On pose Z=X+Y

V(aZ)=a²V(X+Y)
V(aZ)=a²[ V(X)+ V(Y)] car X et Y indépendants

Donc dans mon cas, a=6 et l'écart type est donc  :
[tex]\sqrt{(36 (\sigma_x²+\sigma_y^²))}[/tex]

Est ce une erreur ?

Merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Salut,

tu commets une grave confusion : la somme de deux va normales indépendantes qui suivent une loi normale de paramètre m1 et m2  et var1 et var2 suit une loi normale de paramètre m1+m2 et de variance var1+var2.

Ca n'a rien à voir avec une va normale S que l'on translate de la manière suivante [tex]Z = \alpha \times S+\beta[/tex]. Dans ce cas, la va Z suit une loi normale d'espérance [tex]\alpha \times E(S)+\beta[/tex] et de variance [tex]\alpha^2 Var(S)[/tex].

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire.
Pouvez vous reformuler ?

Merci à vous.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Re,

considérons deux v.a normales indépendantes [tex]X_1[/tex] et [tex]X_2[/tex] de paramètres [tex](m_1,\,m_2,\,\sigma_1^2,\,\sigma_2^2)[/tex]

On démontre que la somme [tex]S = X_1+X_2[/tex] est une v.a de loi normale de paramètres [tex]E(S)=m_1+m_2,\,Var(S)=\sigma_1^2+\sigma_2^2[/tex]

Si tu fais l'hypothèse que les deux v.a [tex]X_1[/tex] et [tex] X_2[/tex] suivent une loi normale de mêmes paramètres (même espérance[tex] m[/tex] et même variance[tex] \sigma^2[/tex] ), alors la somme S suit une loi normale de paramètres [tex]E(S)=2m[/tex] et[tex] Var(S)=2\sigma^2[/tex] donc en particuler [tex]\sigma_S=\sqrt{2}\times \sigma[/tex]

Ce résultat n'a rien à voir avec la loi d'une transformation linéaire affine de[tex] X_1[/tex] par exemple.

Construis un exemple, tu vas vite t'en apercevoir : dans le premier cas, je regarde le résultat de deux tirages indépendants, dans le second, je prends le résultat d'un seul tirage puis je le transfome linéairement !

stan147

Membre

Inscription : 14-04-2011

Messages : 9

Re : [Statisques] loi normal

Bonjour,

J'ai du mal tout de même.
Je veux dire, au départ, on a dit que X est la va associé au dépôt journalier.
Si on considère 6 jours, on fait 6X, c'est bien une translation (donc 6²V(X) pour la variance)

Je n'arrive pas à faire votre exemple (au niveau des probabilité ?)

Merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Statisques] loi normal

Re,

non, pas du tout : on peut déposer 10 le lundi et 8 le mardi, ou bien 5 le lundi et 13 le mardi ...

Prends un dé, lance le une fois et construis la loi de [tex]Y=2X[/tex]. Dans ce cas, [tex]\Pr(Y=7)=0[/tex] par exemple.

Plus précisement, tous les nombres impairs compris entre 2 et 12 ont une probabilité nulle d'apparaître, par construction.

Prends le même dé, lance le deux fois et construis la loi de [tex]S=X_1 + X_2[/tex].

Cette fois-ci, [tex]\Pr(S=7)=\sum_{k=1}^{6}\Pr(X_1=k)\times \Pr(X_2=7-k)=\frac16 \ne 0[/tex].

Dans ce cas, tous les nombres compris entre 2 et 12 ont une probabilité non nulle d'apparaître, toujours par construction.

C'est pour cela que la variance de S est plus faible que celle de Y.

On a [tex]E(Y)=2\times E(X) =E(S)[/tex] mais [tex]V(Y)=4\times V(X)[/tex] et [tex]V(S)=2\times V(X)[/tex].

Je t'invite à le vérifier par le calcul.

Dernière modification par freddy (25-02-2013 13:41:16)