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sotsirave

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parallélisme

Bonjour

Les données

Un triangle ABC, les milieux respectifs I,J,K des segments BC, CA et AB.
M un point du segment BC, N le milieu de (M,C).
La droite KL parallèle à AM, L€[BC] et E le milieu du segment KL.
Les droites NE et KI se coupent en F.

Une conséquence

Les droites JF et BE sont parallèles .
   
J’ai établi une démonstration « analytique » .

Avez-vous une démonstration «  géométrique  » ?

Merci

totomm

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Re : parallélisme

Bonsoir,

Si O est le milieu de [BJ], E se promène sur la parallèle à (BC) passant par O
Si E' est l'intersection de (BE) et (KJ), si J' est l'intersection de (OE') avec (BC) : BE'JJ' est un parallélogramme
Si F est l'intersection de (JJ') et (EN), alors un truc du genre CN est le double de OE
permet de montrer que F est sur [OI] (avec E en O quand N est en C)

Cordialement

Edit : Mieux : On montre que IJ' = IN et comme le symétrique de E par rapport à O est sur JJ'...

Dernière modification par totomm (17-02-2013 20:51:38)

sotsirave

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Re : parallélisme

Bonjour Totomm

   Je ne comprends pas pourquoi F appartient à (JJ'): c' est là, la clé du problème. le fait que J', F et J sont alignés!

Si Q est l'intersection de (BE') et de (KI), il faudrait montrer que F est le symétrique de Q par rapport à O.

La dernière remarque ne change rien.

Merci, je continue de réfléchir...

totomm

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Re : parallélisme

Bonjour,
Je suis allé un peu vite une première fois,
Voici comment je traite complètement ce problème :

"Un triangle ABC, les milieux respectifs I,J,K des segments BC, CA et AB.
M un point du segment BC, N le milieu de (M,C).
La droite KL parallèle à AM, L€[BC] et E le milieu du segment KL."

Je construis donc :
Si O est le milieu de [BJ], E se promène sur la parallèle à (BC) passant par O
Si E' est l'intersection de (BE) et (KJ), si J' est l'intersection de (OE') avec (BC) : BE'JJ' est un parallélogramme
On montre facilement que IN=IJ'
Si E" est l'intersection de (EO) et (JJ'), alors EO=OE"
Dans le Trapèze croisé EE"J'N le segment [OI] joint les milieux des cotés EE" et J'N
Le point d'intersection F  des cotés [EN] et [E"J'] est donc sur [OI]

Vous demandiez :
Les droites NE et KI se coupent en F. Une conséquence : Les droites JF et BE sont parallèles
J'ai démontré :
Le point F commun à NE et OI est sur JJ' parallèle à BE

Cordialement

sotsirave

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Re : parallélisme

Bonsoir totomm

Je connaissais cette propriété du trapèze mais je n'y avais pas pensé . Une conséquence, c'est que l'intersection des côtés non parallèles décrit une droite fixe ( KI ) quand M décrit le segment BC. etc...

Merci encore

A+